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Les suites Cheat Sheet (DRAFT) by

Les suites blablabla blabla

This is a draft cheat sheet. It is a work in progress and is not finished yet.

Raison­nement par récurrence

1ère étape : Initia­lis­ation On vérifie que la propriété est vraie au rang initial. (n=0 ou n=1 en général)
2ème étape : Hérédité On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé de ℕ et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1.
3ème étape : Conclusion On en déduit que la propriété est vraie pour tout n∈ℕ.

Vocabu­laire et méthodes sur les suites

Etudier la monotonie d'une suite, c'est étudier son sens de variation.
On peut utiliser un raison­nement par récurr­ence.
On étudie le signe de Un+1=Un.
Si Un=f(n), alors on peut étudier le sens de variation de f sur [0,+∞[.

Suites arithm­étiques

Si (Un) est arithm­étique, chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.
Formule de récurr­ence: Un+1 = Un+r
Formules explic­ites: Un = U0+r×n ou Un = U1+r×(n-1) (si U1 est le premier terme)
Somme des termes conséc­utifs: (nombre de termes­×(p­rem­ier­+de­rni­er))/2

Suites géomét­riques

Si (Un) est géomét­rique, chaque terme permet de déduire le suivant par multip­lic­ation par un facteur constant appelé raison
Formule de récurr­ence: Un+1 = Un×q
Formules explic­ites: Un = U0×qn ou Un = U0×qn-1 (si U1 est le premier terme)
Somme des termes conséc­utifs: premier terme × (1-qnombre de termes)/1-q
 

Exemple 1

Soit (Un) la suite définie par U0=-1 et Un+1=U­n+2n+2. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈ℕ, Un=n²+n-1
On vérifie que la propriété est vraie au rang initial. Pour n=0: 0²+0-1=-1 et U0=-1
On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé de ℕ : Un=n²+n-1 et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1 : Un+1=(­n+1­)²+­(n+1)-1
On sait que Un+1= Un+2n-2 = n²+n-1­+2n+2 = n²+3n+1
On développe : (n+1)²­+(n­+1)-1 = n²+2n+­1+n+1-1 = n²+3n+1
On en conclut que, pour tout n∈ℕ, Un=n²+n-1
 

Exemple 2

(Un) est définie sur ℕ par U0=90 et U1=0.8­5Un+6. Démontrer par récurrence que (Un) est décroi­ssante sur ℕ.
On vérifie que la propriété est vraie au rang initial. On calcule U1 = 0.85×U0+6 = 82.5 donc U1<U0
On suppose que la propriété Un+1 <= Un est vraie pour un rang n fixé de ℕ et on montre que Un+2<=­Un+1:
Un+1<=Un+2 (hypothèse de récurr­ence) ⇔ 0.85Un­+1<­=0.85Un ⇔ 0.85Un­+1+­6<=­0.8­5Un+6 ⇔ Un+2<=Un+1
On en conclut que le suite (Un) est décroi­ssante sur ℕ.