Definiciones
Proceso Estocástico |
Colección Infinita de variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad común (Ω, F, P) que esta indexada por un parametro (i.e. tiempo) |
Estado |
Valores que toman las variables aleatorias Xtn
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Espacio de Estados del Proceso |
Conjunto de todos los posibles estados. Discreto {Xn
, n = 0, 1, 2...} o Continuo {Xtn
, t ∈ T} y {Xt
, t ∈ T}. |
Trayectoria |
Recorrido de un evento específico. Dado ω∈Ω, la trayectoria de ω es ƒ: t→Xt(ω) |
Distribución n-dimencional del proceso |
Ft1
...tn
(x1
,..., xn
) := P(Xt1
≤ x1
,..., Xtn
≤ xn
), donde Xun P.E. real y {t1
, t2
,... , tn
} ⊂ T donde t1
< t2
<...< tn
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P.E. con Incrementos Independientes |
Cuando las variables aleatorias Xt2
− Xt1
, Xt3
− Xt2
, ..., Xtn
− Xtn-1
son independientes dado que ∀ t1
, t2
,..., tn
y t1
<t2
< ... <tn
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P.E. Estacionario de orden n Se puede trasladar en el tiempo y la distribucion no cambia |
Sea ∀t1, t2,..., tn y las distribuciones conjuntas de Xt1
, Xt2
..., Xtn
) y (Xt1+h
+ h), Xt2+h
..., Xtn+h
) son iguales para todo h>0 |
P.E. Estacionario de orden n |
Si el proceso es estacionario de orden n para todo n∈N, |
P.E. con Incrementos Estacionarios |
Si para cualesquiera 0≤s≤t y 0≤h, se cumple que Xt
-Xs
tiene la misma distribucion que Xt+h
-Xs+h
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P.E. de segundo orden o regular |
Si E [Xt
] 2 < ∞ para todo t ∈ T. Ademas Las funciones de media mX (t) = E (Xt
) y de covarianza CX (s, t) = Cov (Xs
, Xt
) |
P.E. ortogonal |
Si es P.E. regular y E [Xt
Xs
]=0, ∀t,s, ∈ T y t ≠s. |
P.E. Estacionario |
Si es P.E. regular y su función de media mX(t) es independiente de t y si su función de covarianza CX(s, t) es una función que depende sólo de |t − s|, para todo t,s,esto C(s, t) = Cov(X(s), X(t)) = f(t − s). |
P.E. Evolutivo |
Que no es Estacionario |
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Ejemplos Especiales de P.E.
Martingala El valor esperado del X_{n+1} dado que paso por n valores dados, es el ultimo valor observado x_{n} |
Si E(X_{n+1} | X_{0}=x_{0},...,X_{n}=x_{n})=x_{n} |
Proceso de Levy |
Cuando los incrementos son independientes y estacionarios |
Proceso Gausiano |
Si para cualesquiera n tiempos crecientes, se tiene que (X(t1), X(t2)..., X(tn)) tiene una distribucion normal multivariada |
Tipos de P.E.
PDED |
Tiempo Discreto + Espacio Discreto |
PDEC |
Tiempo Discreto + Espacio Continuo |
PCED |
Tiempo Continuo + Espacio Discreto |
PCEC |
Tiempo Continuo +Espacio Continuo |
Propiedades P.E
X=Y sii Xt
(ω) = Yt
(ω) con ∀t∈ T y ∀ω ∈ Ω |
X y Y son estocásticamente equivalentes si P(Xt
= Yt
) =1 y ∀t∈ T. |
X y Y son estocásticamente equivalentes en el sentido amplio si ∀ n∈N, ∀ {t1
,..., tn
}⊂T y {B1
,..., Bn
} ⊂ 2Ω se satisface: P(Xt1
∈ B1
, ..., Xtn
∈ Bn
) = P(Yt1
∈ B1
,..., Ytn
∈ Bn
) |
X y Y se dicen indistinguibles si casi todas sus trayectorias coinciden, esto es, P(Xt
= Yt
, t ∈ T) = 1. |
Aclaraciones
Sea X = {Xt, t∈ T} un proceso estocástico |
X es real si las v.a. Xt son de valor real para todo t∈T |
X es complejo si las v.a. Xt son de valor complejo para todo t ∈ T |
Si T es finito o contable, entonces es proceso estocástico con parámetro de tiempo discreto. |
Si T es un intervalo de la recta real entonces es proceso con parámetro de tiempo continuo. |
Si T⊆Rn con n>1 entonces el proceso se denomina campo aleatorio. |
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Cadena de Markov
Un P.E. Real X si para todo n tiempos crecientes y a, b ∈ R con a < b, se satisface que P (Xt
∈ (a, b] | Xt1
= x1, Xt2
= x2, ,..., Xtn
) = P (Xt
∈ (a, b] | Xtn
) |
Es decir, solo importa el estado inmediatamente anterior Xtn
para determinar el estado siguiente Xtn+1
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Equivalente a P (X0
= i0
, ..., Xn+1
= in+1
) = P (X0
= i0
) P (X1
= i1
| X0
= i0
) ...P (Xn+1
= in+1
| Xn
= in
) |
Distribucion Inicial |
Distribucion de la variable X 0
, es decir {P (X 0
= 0), P(X 0
= 1), ...} |
Probabilidad de transicion |
Probabilidad de que pase de i a j en un paso (del tiempo n al tiempo n+1) es P(Xn+1
=j| Xn
=i)=Pij
(n,n+1)=Pij
(1) |
Matriz de transicion en un paso |
Sea P=[pij
]=Pij
(1). Es la matriz estocastica. El i es la salida y el j es la llegada |
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