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Formule e teoria sulla parabola
La parabola
La parabola è una delle coniche. Fissati nel piano un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice), si chiama parabola la curva luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d |
EQUAZIONE |
y= ax2 + bx + c |
Formule generali: parallela all'asse y
VERTICE |
V(-b/2a ; -Δ/4a) |
FUOCO |
F(-b/2a ; 1-Δ/4a) |
DIRETTRICE |
y=-(1+Δ/4a) |
ASSE DI SIMMETRIA |
x=-b/2a |
Formule generali: perpendicolare all'asse y
EQUAZIONE |
x= ay2 +by +c |
VERTICE |
V(-Δ/4a ; -b/2a) |
FUOCO |
F(1-Δ/4a ; -b/2a) |
DIRETTRICE |
x=-(1+Δ/4a) |
ASSE DI SIMMETRIA |
y= -b/2a |
Parabole congruenti
Date y=ax2+bx+c e y=a1x2+b1x+c1, esse sono congruenti se hanno la stessa apertura |
|a|=|a1| |
Segmento parabolico
Il segmento parabolico è la parte di piano compresa tra la parabola e la retta secante |
Per il teorema di Archimede, l'area del segmento parabolico è i 4/3 di quella del triangolo massimo inscritto al segmento parabolico che ha base AB |
Asp=Atm(4/3) |
Formula generale |
Asp= |a|/6 × |x0-x1|3 |
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RETTA ESTERNA ALLA PARABOLA
Retta esterna alla parabola
La retta è esterna alla parabola quando non hanno punti in comune |
Δ < 0 |
RETTA SECANTE ALLA PARABOLA
Retta secante alla parabola
La retta e la parabola hanno due punti di intersezione distinti |
Δ>0 |
RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA
Retta tangente alla parabola
La retta e la parabola hanno un punto di intersezione doppio (= due coincidenti) |
Δ=0 |
Punti e parabole
Sistema di equazioni tra fascio di rette e parabola |
y-y0=m(x-x0) y=ax2+bx+c |
Equazione risolvente del sistema di equazioni tra fascio di rette e parabola |
ax2+bx+c=m(x-x0)+y0 |
Se il punto è esterno alla parabola, possiamo tracciare due tangenti |
con Δ=0, abbiamo soluzioni m1 diverso da m2 |
Se il punto appartiene alla parabola, possiamo tracciare una sola tangente |
con Δ=0, abbiamo una sola soluzione di m |
Se il punto è interno alla parabola, non possiamo tracciare nessuna tangente |
con Δ=0, non abbiamo alcuna soluzione |
SE IL PUNTO APPARTIENE ALLA PARABOLA
Formula per trovare m (solo nella parabola) |
m=2ax0+b, avendo P(x0;y0) |
Formule generali (ogni curva) |
x->(x+x0)/2; y->(y+y0)/2; x2->x×x0 |
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Fasci di parabole
Equazione |
y=ax2+bx+c + k(a1x2+b1x+c) |
Punti base |
sono i punti in comune tra tutte le parabole del fascio |
Parabole degeneri algebriche |
sono rette passanti per i punti base che si possono ottenere dall'equazione del fascio |
Parabole degeneri grafiche |
sono rette/coppie di rette parallele all'asse y passanti per i punti base. Le possiamo identificare nel grafico, ma non si possono ricavare dall'equazione |
Fasci di parabole: casi grafici
CASO 1: due punti base e una parabola degenere algebrica (+ una coppia di rette passante per punti base -> parabola degenere grafica) |
CASO 2: un punto base doppio e una parabola degenere algebrica (+ una retta passante per il punto base -> parabola degenere grafica) |
CASO 3: nessun punto base, ma una parabola degenere algebrica |
CASO 4: nessun punto base, nessuna degenere, ma congruenti e con stesso asse di simmetria |
CASO 5: un punto base semplice, senza degenere algebrica (+ una una retta passante per il punto base -> parabola degenere grafica) |
Fasci di parabole: casi algebrici
CASO 1: la y NON dipende dal parametro |
es. y=3tx2-x+t |
CASO 2: anche la y dipende dal parametro |
es. ty=(t-1)x2+tx-2 |
La normale
La normale è la retta passante per il punto di tangenza che è perpendicolare alla tangente stessa |
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