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Analysis III Cheat Sheet (DRAFT) by

Inhalte der Vorlesung Analysis III

This is a draft cheat sheet. It is a work in progress and is not finished yet.

Allgemeine Bemerk­ungen

X steht in der Regel für die Gesamt­menge
ℒ steht als Ersatz für das häufig verwendete kallig­rap­hische L der Lebesg­ue-­σ-A­lgebra

Topologie

Definition
Eine Topologie zu einer Menge ist eine Teilmenge der Potenz­menge
 
Sie enthält die leere Menge und die gesamte Menge
 
alle Schnitte endlich vieler Teilmengen
 
jede Verein­igung bel. vieler Teilmengen
Standa­rdb­eispiel
Menge aller offenen Teilmengen des Rn
Hausdo­rff­-Ei­gen­schaft
Eine Topologie hat diese Eigens­chaft, wenn es zu je zwei Elementen der Ausgan­gsm­enge, zwei disjunkte Mengen der Topologie gibt, die jeweils das Element enthalten
Basis
B ist eine Basis, wenn sie jede Menge der Topologie als Verein­igung von Basise­lem­enten erzeugen lässt
Standa­rdbasis
Die offenen Teilin­ter­valle bilden eine Basis der Standa­rdt­opo­logie auf den reellen Zahlen

Metrik und Norm

Metrik
Verall­gem­ein­erung von Abstand
 
d(x,y) ist größer gleich 0, nur 0 wenn x=y, symmet­risch und erfüllt die Dreiec­ksu­ngl­eichung
Norm
weist jedem Element ein Maß in R zu
Standa­rdm­etrik bzw. Standa­rdnorm
Euklid­ische Metrik - Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordi­naten
induzierte Topologie
Eine Norm induziert eine Metrik und diese wiederum eine Topologie durch die offenen Umgebungen jedes Elements
 
die induzierte Topologie hat die Hausdo­rff­-Ei­gen­schaft

σ-Algebra

Definition
A Teilmenge der Potenz­menge ist σ-Algebra, wenn sie die gesamte Menge X enthält, zu jeder Menge auch ihr Complement und jede abzählbare Verein­igung von Mengen aus A
A-messbar / messbarer Raum
Die Mengen einer σ-Algebra A nennt man A-messbar und (X,A) heißt messbarer Raum
Produk­t-σ­-Al­gebra
die kleinste σ-Algebra die alle A1xA2 mit A1 bzw. A2 Mengen aus den beiden "­Fak­tor­-Al­geb­ren­" enthält
Borel-­σ-A­lgebra
die kleinste σ-Algebra die eine Topologie T enthält
Standard Borel-­σ-A­lgebra in Rn
enthält alle offenen und abgesc­hlo­ssenen Mengen - das sind jedoch nicht alle Teilmengen - es gibt viele nicht Borel-­mes­sbare Mengen in Rn
Aus der Definition folgt, dass auch der abzählbare Schnitt von Mengen aus A in A enthalten sein muss.
Eine σ-Algebra erlaubt mehr Schnitte als eine Topologie (abzählbar statt endlich) aber weniger Verein­igungen (abzählbar statt beliebig)

Maße

stetige Funktionen
auf Topologien S und T, wenn f-1(T) ∈ S für jede Menge T der Topologie T
 
die Definition stimmt für metrische Räume mit der klassi­schen Definition (ε-δ) überein
Definition Messba­rkeit einer Funktion
entspricht der Definition der Stetigkeit nur werden die Topologien durch Messbare Räume (σ-Alg­ebren) ersetzt
Definition (posit­ives) Maß μ
auf einem messbaren Raum (σ-Alg­ebra) - ordnet jeder Menge eine nichtn­egative Reelle Zahl zu mit μ(∅)=0 und μ ist σ-additiv
σ-additiv
für jede paarweise disjunkte Folge von Mengen gilt Der Funkti­onswert der Verein­igung ist gleich der Summe der Funkti­ons­werte jeder Einzel­menge
Maßraum
σ-Algebra mit zugehö­rigem Maß μ
Wahrsc­hei­nli­chk­eitsmaß
wenn μ(X)=1. Maß der Gesamt­menge gleich 1
A ist Nullmenge
wenn μ(A)=0
vollst­ändiger Maßraum
wenn jede Teilmenge einer Nullmenge wiederum eine Nullmenge ist - eine Erweit­erung eines Maßraums auf einen vollst­ändigen Maßraum ist möglich

Lebesgue - Integral

Integral einer Treppe­nfu­nktion
Man definiert das Integral als Summe der Produkte des Funkti­ons­wertes mal dem Maß der dem Urbild­menge des Funkti­ons­wertes
positive und negative Funktionen
f+(x) = max(f(­x),0) entspr­echend f-(x) - dienen zur Vermeidung von (∞ - ∞) - Problemen
Def: einfache Funktion
f(X) ist abzählbar
L-Integral für einfache Funktionen
f ist L-inte­gri­erbar, wenn ∫f+<∞ und ∫f-<∞ . Das Integral wird dann definiert als die Differenz dieser beiden Werte
L-Integral für allg. Funktionen
Wenn das Unteri­ntegral gleich dem Oberin­tegral (Grenz­werte von Integralen einfacher Funkti­onen). Dann ist dieser Wert das Integral der Funktion
Definition
Menge aller Lebesg­ue-­int­egr­ier­baren Funktionen L1(X) - lokal Integr­ierbar, wenn auf allen kompakten Teilmengen von X
Linearität des Integrals
Das Lebesg­ue-­Int­egral ist linear
Riemann und Lebesgue
Wenn (eigen­tlich) Rieman­n-I­nte­gri­erbar, dann auch Lebesg­ue-­Int­egr­ierbar mit gleichem Wert (nicht wenn nur uneige­ntlich Rieman­n-I­nte­gri­erbar)

Zusamm­enhänge stetig und messbar

Sonstige Implik­ationen gibt es nicht
  

Maße II

äußeres Maß μ*
ist eine Abbildung, die jeder Teilmenge von X eine nichtn­egative reelle Zahl zuordnet. Dabei gilt μ(∅)=0, A ⊂ B ⇒ μ(A) ≤ μ*(B), σ-suba­dditiv
σ-subadditiv
der Funkti­­on­swert einer Verein­­igung von Teilmengen von X ist kleiner gleich der Summe der Funkti­­on­s­werte jeder Einzel­­menge
äußeres Lebesg­ue-Maß
wird induziert über das Volumen einzelner Blöcke
äußere Hausdo­rff­-Maße
statt mit Blöcken kann man auch mit Kugeln überdecken - das führt zur Idee auch nieder­dim­ens­ionale Objekte zu messen und dem zu messenden Objekt zu einer reellen Zahl s (Dimen­sion) das Infimum der Summer aller Potenzen rs der Überde­ckung durch Kugeln zuzuweisen
s-dim. Hausdo­rff-Maß
Die Menge wird von möglichst kleinen Kugeln überdeckt und man bildet die Summe der Radien zum Exponenten s
Hausdo­rff­-Di­mension
die Dimension bei der das Hausdo­rff-Maß eine positive Reelle Zahl ist
μ*-messbar
Eine Teilmenge A von X ist μ*-messbar wenn gilt μ*(A ∩ B) + μ*(Ac ∩ B) ≤ μ*(B) für alle Teilmengen B von X
vollst­ändiges Maß
Da die Menge aller μ*-messbaren Mengen eine sigma-­Algebra bildet, nennt man das äußere Maß einges­chränkt auf diese Mengen ein (induz­iertes) Maß
• Ein äußeres Maß ist nicht unbedingt ein Maß
• Aus den Maßen einer abzähl­baren Überde­ckung von X kann ein äußeres Maß konstr­uiert werden.
• Die eigent­liche Definition des Hasudo­rff­-Maßes ist anders aber für nicht pathol­ogische Mengen mit dieser Identisch

Beispiel Sierpi­nsk­i-T­eppich

Der Sierpi­nsk­i-T­eppich hat die Hausdo­rff­-Di­mension log(8)­/log(3)

Lebesq­ue-Maß

Das Lebesg­ue-Maß ist ein Maß
Auf der Borel-­sig­ma-­Algebra erfüllt das äußere Lebesg­ue-Maß (Überd­eckung mit Blöcken) die Maßbed­ingung: μ*(A ∩ B) + μ*(Ac ∩ B) ≤ μ*(B)
Approx­imi­erung von außen und innen
Lebesg­ue-­mes­sbare Mengen werden von außen mit offenen Mengen und von innen mit kompakten Mengen approx­imiert
Cantor­-Menge (Beispiel)
Lebesq­ue-­mes­sbare Mengen
Alle Teilmengen von ℝn , die man durch abzählbare Mengen­ope­rat­ionen (Verei­nigung, Schnitt oder Komple­men­tbi­ldung) von offenen und ab- geschl­ossenen Mengen bekommt, sind Lebesg­ue-­messbar
eine nicht Lebesq­ue-­mes­sbare Menge
Die Menge R = { x + ℚ; x ∈ ℝ } ist nicht messbar

Beispiel Cantor­-Menge

Cantor­-Menge und fette Cantor­-Menge (Konst­ruk­tio­nsidee)

Nullmengen und "fast überal­l"

µ-fast­-üb­erall
zwei Funktionen stimmen bis auf eine Nullmenge des Maßes µ überein
 
das entspricht einer Äquiva­len­zre­lation
L(X) und ℒ(X)
L(X) sind die Menge der Äquiva­len­zkl­assen der Lebesg­ue-­Int­egr­ier­baren Funktionen (zwei Funktionen die fast überall überei­nst­immen liegen in der selben Äquiva­len­zkl­asse)
 
dadurch erhält man den Vektorraum der Lebesg­ue-­int­egr­ier­baren Fkt'en (denn es gibt nun nur die Nullfu­nktion deren Betrag­sin­tegral gleich 0 ist)