\documentclass[10pt,a4paper]{article}

% Packages
\usepackage{fancyhdr}           % For header and footer
\usepackage{multicol}           % Allows multicols in tables
\usepackage{tabularx}           % Intelligent column widths
\usepackage{tabulary}           % Used in header and footer
\usepackage{hhline}             % Border under tables
\usepackage{graphicx}           % For images
\usepackage{xcolor}             % For hex colours
%\usepackage[utf8x]{inputenc}    % For unicode character support
\usepackage[T1]{fontenc}        % Without this we get weird character replacements
\usepackage{colortbl}           % For coloured tables
\usepackage{setspace}           % For line height
\usepackage{lastpage}           % Needed for total page number
\usepackage{seqsplit}           % Splits long words.
%\usepackage{opensans}          % Can't make this work so far. Shame. Would be lovely.
\usepackage[normalem]{ulem}     % For underlining links
% Most of the following are not required for the majority
% of cheat sheets but are needed for some symbol support.
\usepackage{amsmath}            % Symbols
\usepackage{MnSymbol}           % Symbols
\usepackage{wasysym}            % Symbols
%\usepackage[english,german,french,spanish,italian]{babel}              % Languages

% Document Info
\author{pits}
\pdfinfo{
  /Title (analysis-iii.pdf)
  /Creator (Cheatography)
  /Author (pits)
  /Subject (Analysis III Cheat Sheet)
}

% Lengths and widths
\addtolength{\textwidth}{6cm}
\addtolength{\textheight}{-1cm}
\addtolength{\hoffset}{-3cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\setlength{\tabcolsep}{0.2cm} % Space between columns
\setlength{\headsep}{-12pt} % Reduce space between header and content
\setlength{\headheight}{85pt} % If less, LaTeX automatically increases it
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % Remove footer line
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % Remove header line
\renewcommand{\seqinsert}{\ifmmode\allowbreak\else\-\fi} % Hyphens in seqsplit
% This two commands together give roughly
% the right line height in the tables
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\onehalfspacing

% Commands
\newcommand{\SetRowColor}[1]{\noalign{\gdef\RowColorName{#1}}\rowcolor{\RowColorName}} % Shortcut for row colour
\newcommand{\mymulticolumn}[3]{\multicolumn{#1}{>{\columncolor{\RowColorName}}#2}{#3}} % For coloured multi-cols
\newcolumntype{x}[1]{>{\raggedright}p{#1}} % New column types for ragged-right paragraph columns
\newcommand{\tn}{\tabularnewline} % Required as custom column type in use

% Font and Colours
\definecolor{HeadBackground}{HTML}{333333}
\definecolor{FootBackground}{HTML}{666666}
\definecolor{TextColor}{HTML}{333333}
\definecolor{DarkBackground}{HTML}{238006}
\definecolor{LightBackground}{HTML}{F8FBF7}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
\color{TextColor}

% Header and Footer
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{} % Set header to blank
\fancyfoot{} % Set footer to blank
\fancyhead[L]{
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{C}
    \SetRowColor{DarkBackground}
    \vspace{-7pt}
    {\parbox{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep\relax}{\noindent
        \hspace*{-6pt}\includegraphics[width=5.8cm]{/web/www.cheatography.com/public/images/cheatography_logo.pdf}}
    }
\end{tabulary}
\columnbreak
\begin{tabulary}{11cm}{L}
    \vspace{-2pt}\large{\bf{\textcolor{DarkBackground}{\textrm{Analysis III Cheat Sheet}}}} \\
    \normalsize{by \textcolor{DarkBackground}{pits} via \textcolor{DarkBackground}{\uline{cheatography.com/199821/cs/42268/}}}
\end{tabulary}
\end{multicols}}

\fancyfoot[L]{ \footnotesize
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{LL}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{2}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheatographer}}  \\
  \vspace{-2pt}pits \\
  \uline{cheatography.com/pits} \\
  \end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheat Sheet}}  \\
   \vspace{-2pt}Not Yet Published.\\
   Updated 26th February, 2024.\\
   Page {\thepage} of \pageref{LastPage}.
\end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Sponsor}}  \\
  \SetRowColor{white}
  \vspace{-5pt}
  %\includegraphics[width=48px,height=48px]{dave.jpeg}
  Measure your website readability!\\
  www.readability-score.com
\end{tabulary}
\end{multicols}}




\begin{document}
\raggedright
\raggedcolumns

% Set font size to small. Switch to any value
% from this page to resize cheat sheet text:
% www.emerson.emory.edu/services/latex/latex_169.html
\footnotesize % Small font.

\begin{multicols*}{2}

\begin{tabularx}{8.4cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Allgemeine Bemerkungen}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{X steht in der Regel für die Gesamtmenge} \tn 
% Row Count 1 (+ 1)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{ℒ steht als Ersatz für das h{\"a}ufig verwendete kalligraphische L der Lebesgue-σ-Algebra} \tn 
% Row Count 3 (+ 2)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{Sonderzeichen von \{\{link="https://www.zeichen.tv"\}\}zeichen.tv\{\{/link\}\} oder auch \seqsplit{https://www.compart.com/de/unicode/U+2112}} \tn 
% Row Count 6 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{2.72 cm} x{5.28 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Topologie}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Definition & Eine Topologie zu einer Menge ist eine Teilmenge der Potenzmenge \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
% Row 1
\SetRowColor{white}
 & Sie enth{\"a}lt die leere Menge und die gesamte Menge \tn 
% Row Count 5 (+ 2)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
 & alle Schnitte endlich vieler Teilmengen \tn 
% Row Count 7 (+ 2)
% Row 3
\SetRowColor{white}
 & jede Vereinigung bel. vieler Teilmengen \tn 
% Row Count 9 (+ 2)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
\seqsplit{Standardbeispiel} & Menge aller offenen Teilmengen des R\textasciicircum{}n\textasciicircum{} \tn 
% Row Count 11 (+ 2)
% Row 5
\SetRowColor{white}
\seqsplit{Hausdorff-Eigenschaft} & Eine Topologie hat diese Eigenschaft, wenn es zu je zwei Elementen der Ausgangsmenge, zwei disjunkte Mengen der Topologie gibt, die jeweils das Element enthalten \tn 
% Row Count 18 (+ 7)
% Row 6
\SetRowColor{LightBackground}
Basis & B ist eine Basis, wenn sie jede Menge der Topologie als Vereinigung von Basiselementen erzeugen l{\"a}sst \tn 
% Row Count 22 (+ 4)
% Row 7
\SetRowColor{white}
\seqsplit{Standardbasis} & Die offenen Teilintervalle bilden eine Basis der Standardtopologie auf den reellen Zahlen \tn 
% Row Count 26 (+ 4)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.52 cm} x{4.48 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Metrik und Norm}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Metrik & Verallgemeinerung von Abstand \tn 
% Row Count 2 (+ 2)
% Row 1
\SetRowColor{white}
 & d(x,y) ist gr{\"o}{\ss}er gleich 0, nur 0 wenn x=y, symmetrisch und erfüllt die Dreiecksungleichung \tn 
% Row Count 7 (+ 5)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Norm & weist jedem Element ein Ma{\ss} in R zu \tn 
% Row Count 9 (+ 2)
% Row 3
\SetRowColor{white}
Standardmetrik bzw. Standardnorm & Euklidische Metrik - Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten \tn 
% Row Count 13 (+ 4)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
induzierte Topologie & Eine Norm induziert eine Metrik und diese wiederum eine Topologie durch die offenen Umgebungen jedes Elements \tn 
% Row Count 18 (+ 5)
% Row 5
\SetRowColor{white}
 & die induzierte Topologie hat die Hausdorff-Eigenschaft \tn 
% Row Count 21 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.6 cm} x{4.4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{σ-Algebra}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Definition & A Teilmenge der Potenzmenge ist σ-Algebra, wenn sie die gesamte Menge X enth{\"a}lt, zu jeder Menge auch ihr Complement und jede abz{\"a}hlbare Vereinigung von Mengen aus A \tn 
% Row Count 8 (+ 8)
% Row 1
\SetRowColor{white}
A-messbar / messbarer Raum & Die Mengen einer σ-Algebra A nennt man A-messbar und (X,A) hei{\ss}t messbarer Raum \tn 
% Row Count 12 (+ 4)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\seqsplit{Produkt-σ-Algebra} & die kleinste σ-Algebra die alle A1xA2 mit A1 bzw. A2 Mengen aus den beiden "Faktor-Algebren" enth{\"a}lt \tn 
% Row Count 17 (+ 5)
% Row 3
\SetRowColor{white}
Borel-σ-Algebra & die kleinste σ-Algebra die eine Topologie T enth{\"a}lt \tn 
% Row Count 20 (+ 3)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
Standard Borel-σ-Algebra in R\textasciicircum{}n\textasciicircum{} & enth{\"a}lt alle offenen und abgeschlossenen Mengen - das sind jedoch nicht alle Teilmengen - es gibt viele nicht Borel-messbare Mengen in R\textasciicircum{}n\textasciicircum{} \tn 
% Row Count 27 (+ 7)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{Aus der Definition folgt, dass auch der abz{\"a}hlbare Schnitt von Mengen aus A in A enthalten sein muss. \newline Eine σ-Algebra erlaubt mehr Schnitte als eine Topologie (abz{\"a}hlbar statt endlich) aber weniger Vereinigungen (abz{\"a}hlbar statt beliebig)}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.84 cm} x{4.16 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Ma{\ss}e}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
stetige Funktionen & auf Topologien S und T, wenn f\textasciicircum{}-1\textasciicircum{}(T) ∈ S für jede Menge T der Topologie T \tn 
% Row Count 4 (+ 4)
% Row 1
\SetRowColor{white}
 & die Definition stimmt für metrische R{\"a}ume mit der klassischen Definition (ε-δ) überein \tn 
% Row Count 9 (+ 5)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Definition Messbarkeit einer Funktion & entspricht der Definition der Stetigkeit nur werden die Topologien durch Messbare R{\"a}ume (σ-Algebren) ersetzt \tn 
% Row Count 15 (+ 6)
% Row 3
\SetRowColor{white}
Definition (positives) Ma{\ss} μ & auf einem messbaren Raum (σ-Algebra) - ordnet jeder Menge eine nichtnegative Reelle Zahl zu mit μ(∅)=0 und μ ist σ-additiv \tn 
% Row Count 22 (+ 7)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
σ-additiv & für jede paarweise disjunkte Folge von Mengen gilt Der Funktionswert der Vereinigung ist gleich der Summe der Funktionswerte jeder Einzelmenge \tn 
% Row Count 30 (+ 8)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.84 cm} x{4.16 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Ma{\ss}e (cont)}}  \tn
% Row 5
\SetRowColor{LightBackground}
Ma{\ss}raum & σ-Algebra mit zugeh{\"o}rigem Ma{\ss} μ \tn 
% Row Count 2 (+ 2)
% Row 6
\SetRowColor{white}
Wahrscheinlichkeitsma{\ss} & wenn μ(X)=1. Ma{\ss} der Gesamtmenge gleich 1 \tn 
% Row Count 5 (+ 3)
% Row 7
\SetRowColor{LightBackground}
A ist Nullmenge & wenn μ(A)=0 \tn 
% Row Count 6 (+ 1)
% Row 8
\SetRowColor{white}
vollst{\"a}ndiger Ma{\ss}raum & wenn jede Teilmenge einer Nullmenge wiederum eine Nullmenge ist - eine Erweiterung eines Ma{\ss}raums auf einen vollst{\"a}ndigen Ma{\ss}raum ist m{\"o}glich \tn 
% Row Count 14 (+ 8)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.76 cm} x{4.24 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Lebesgue - Integral}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Integral einer Treppenfunktion & Man definiert das Integral als Summe der Produkte des Funktionswertes mal dem Ma{\ss} der dem Urbildmenge des Funktionswertes \tn 
% Row Count 6 (+ 6)
% Row 1
\SetRowColor{white}
positive und negative Funktionen & f\textasciicircum{}+\textasciicircum{}(x) = max(f(x),0) entsprechend f\textasciicircum{}-\textasciicircum{}(x) - dienen zur Vermeidung von (∞ - ∞) - Problemen \tn 
% Row Count 11 (+ 5)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Def: einfache Funktion & f(X) ist abz{\"a}hlbar \tn 
% Row Count 13 (+ 2)
% Row 3
\SetRowColor{white}
L-Integral für einfache Funktionen & f ist L-integrierbar, wenn ∫f\textasciicircum{}+\textasciicircum{}\textless{}∞ und ∫f\textasciicircum{}-\textasciicircum{}\textless{}∞ . Das Integral wird dann definiert als die Differenz dieser beiden Werte \tn 
% Row Count 20 (+ 7)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
L-Integral für allg. Funktionen & Wenn das Unterintegral gleich dem Oberintegral (Grenzwerte von Integralen einfacher Funktionen). Dann ist dieser Wert das Integral der Funktion \tn 
% Row Count 27 (+ 7)
% Row 5
\SetRowColor{white}
Definition & Menge aller \seqsplit{Lebesgue-integrierbaren} Funktionen L\textasciicircum{}1\textasciicircum{}(X) - lokal Integrierbar, wenn auf allen kompakten Teilmengen von X \tn 
% Row Count 33 (+ 6)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.76 cm} x{4.24 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Lebesgue - Integral (cont)}}  \tn
% Row 6
\SetRowColor{LightBackground}
Linearit{\"a}t des Integrals & Das Lebesgue-Integral ist linear \tn 
% Row Count 2 (+ 2)
% Row 7
\SetRowColor{white}
Riemann und Lebesgue & Wenn (eigentlich) Riemann-Integrierbar, dann auch \seqsplit{Lebesgue-Integrierbar} mit gleichem Wert (nicht wenn nur uneigentlich \seqsplit{Riemann-Integrierbar)} \tn 
% Row Count 9 (+ 7)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Zusammenh{\"a}nge stetig und messbar}}  \tn
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{p{8.4cm}}{\vspace{1px}\centerline{\includegraphics[width=5.1cm]{/web/www.cheatography.com/public/uploads/pits_1707478150_Bildschirmfoto vom 2024-02-09 12-28-41.png}}} \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{Sonstige Implikationen gibt es nicht}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.04 cm} x{4.96 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Ma{\ss}e II}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
{\"a}u{\ss}eres Ma{\ss} μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{} & ist eine Abbildung, die {\bf{jeder}} Teilmenge von X eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. Dabei gilt μ\textasciicircum{}{\emph{\textasciicircum{}(∅)=0, A ⊂ B ⇒ μ\textasciicircum{}}}\textasciicircum{}(A) ≤ μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(B), σ-subadditiv \tn 
% Row Count 7 (+ 7)
% Row 1
\SetRowColor{white}
σ-{\bf{sub}}additiv & der Funktionswert einer Vereinigung von Teilmengen von X ist kleiner gleich der Summe der Funktionswerte jeder Einzelmenge \tn 
% Row Count 13 (+ 6)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
{\"a}u{\ss}eres Lebesgue-Ma{\ss} & wird induziert über das Volumen einzelner Bl{\"o}cke \tn 
% Row Count 16 (+ 3)
% Row 3
\SetRowColor{white}
{\"a}u{\ss}ere Hausdorff-Ma{\ss}e & statt mit Bl{\"o}cken kann man auch mit Kugeln überdecken - das führt zur Idee auch niederdimensionale Objekte zu messen und dem zu messenden Objekt zu einer reellen Zahl s (Dimension) das Infimum der Summer aller Potenzen r\textasciicircum{}s\textasciicircum{} der Überdeckung durch Kugeln zuzuweisen \tn 
% Row Count 28 (+ 12)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
s-dim. Hausdorff-Ma{\ss} & Die Menge wird von m{\"o}glichst kleinen Kugeln überdeckt und man bildet die Summe der Radien zum Exponenten s \tn 
% Row Count 33 (+ 5)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.04 cm} x{4.96 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Ma{\ss}e II (cont)}}  \tn
% Row 5
\SetRowColor{LightBackground}
\seqsplit{Hausdorff-Dimension} & die Dimension bei der das Hausdorff-Ma{\ss} eine positive Reelle Zahl ist \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
% Row 6
\SetRowColor{white}
μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}-messbar & Eine Teilmenge A von X ist μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}-messbar wenn gilt μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(A ∩ B) + μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(A\textasciicircum{}c\textasciicircum{} ∩ B) ≤ μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(B) für alle Teilmengen B von X \tn 
% Row Count 9 (+ 6)
% Row 7
\SetRowColor{LightBackground}
vollst{\"a}ndiges Ma{\ss} & Da die Menge aller μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}-messbaren Mengen eine sigma-Algebra bildet, nennt man das {\"a}u{\ss}ere Ma{\ss} eingeschr{\"a}nkt auf diese Mengen ein (induziertes) Ma{\ss} \tn 
% Row Count 16 (+ 7)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{• Ein {\"a}u{\ss}eres Ma{\ss} ist nicht unbedingt ein Ma{\ss} \newline • Aus den Ma{\ss}en einer abz{\"a}hlbaren Überdeckung von X kann ein {\"a}u{\ss}eres Ma{\ss} konstruiert werden. \newline • Die eigentliche Definition des Hasudorff-Ma{\ss}es ist anders aber für nicht pathologische Mengen mit dieser Identisch}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Beispiel Sierpinski-Teppich}}  \tn
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{p{8.4cm}}{\vspace{1px}\centerline{\includegraphics[width=5.1cm]{/web/www.cheatography.com/public/uploads/pits_1707463861_Bildschirmfoto vom 2024-02-09 08-29-37.png}}} \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{Der Sierpinski-Teppich hat die Hausdorff-Dimension log(8)/log(3)}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{3.76 cm} x{4.24 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Lebesque-Ma{\ss}}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Das Lebesgue-Ma{\ss} ist ein Ma{\ss} & Auf der Borel-sigma-Algebra erfüllt das {\"a}u{\ss}ere Lebesgue-Ma{\ss} (Überdeckung mit Bl{\"o}cken) die Ma{\ss}bedingung: μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(A ∩ B) + μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(A\textasciicircum{}c\textasciicircum{} ∩ B) ≤ μ\textasciicircum{}*\textasciicircum{}(B) \tn 
% Row Count 8 (+ 8)
% Row 1
\SetRowColor{white}
Approximierung von au{\ss}en und innen & Lebesgue-messbare Mengen werden von au{\ss}en mit offenen Mengen und von innen mit kompakten Mengen approximiert \tn 
% Row Count 14 (+ 6)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{Cantor-Menge (Beispiel)} \tn 
% Row Count 15 (+ 1)
% Row 3
\SetRowColor{white}
Lebesque-messbare Mengen & Alle Teilmengen von ℝ\textasciicircum{}n\textasciicircum{} , die man durch abz{\"a}hlbare Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt oder Komplementbildung) von offenen und ab- geschlossenen Mengen bekommt, sind Lebesgue-messbar \tn 
% Row Count 25 (+ 10)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
eine nicht Lebesque-messbare Menge & Die Menge R = \{ x + ℚ; x ∈ ℝ \} ist nicht messbar \tn 
% Row Count 28 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Beispiel Cantor-Menge}}  \tn
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{p{8.4cm}}{\vspace{1px}\centerline{\includegraphics[width=5.1cm]{/web/www.cheatography.com/public/uploads/pits_1707465620_Bildschirmfoto vom 2024-02-09 08-58-05.png}}} \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{8.4cm}}{Cantor-Menge und fette Cantor-Menge (Konstruktionsidee)}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{2.32 cm} x{5.68 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Nullmengen und "fast überall"}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\seqsplit{µ-fast-überall} & zwei Funktionen stimmen bis auf eine Nullmenge des Ma{\ss}es µ überein \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
% Row 1
\SetRowColor{white}
 & das entspricht einer Äquivalenzrelation \tn 
% Row Count 5 (+ 2)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
L(X) und ℒ(X) & L(X) sind die Menge der Äquivalenzklassen der Lebesgue-Integrierbaren Funktionen (zwei Funktionen die fast überall übereinstimmen liegen in der selben Äquivalenzklasse) \tn 
% Row Count 12 (+ 7)
% Row 3
\SetRowColor{white}
 & dadurch erh{\"a}lt man den Vektorraum der Lebesgue-integrierbaren Fkt'en (denn es gibt nun nur die Nullfunktion deren Betragsintegral gleich 0 ist) \tn 
% Row Count 18 (+ 6)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}


% That's all folks
\end{multicols*}

\end{document}