Show Menu
Cheatography

Kein Latex. Vieles fehlt noch. Version vom 03.03.2026

Mengen

Natürliche Zahlen
N = {1, 2, 3, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
Ganze Zahlen
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Rationale Zahlen
Q = {x = z/n | z ∈ Z ∧ n ∈ N}
Irrati­onale Zahlen
I = R \ Q ; hierzu zählen z.B. √2, π oder e
Reelle Zahlen
R = Q ∪ I ; größte Zahlen­menge die wir bis zum Abitur lernen

Umschr­eiben einer Subtra­ktion und Division

Substr­aktion
Man subtra­hiert eine Zahl, indem man die Gegenzahl addiert.
 
a - b = a + (-b)
 
Division
Man dividiert durch einen Wert, indem man mit dem Kehrwert multip­liz­iert.
 
a / b = a * 1/b

Rechen­gesetze

Assozi­ati­vgesetz
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
(Verbi­ndu­ngs­gesetz)
a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)
 
Kommut­ati­vgesetz
a + b = b + a
(Verta­usc­hun­gsg­esetz)
a * b = b * a
 
Distri­but­ivg­esetze
a * (b ± c) = a * b ± a * c
(Verte­ilu­ngs­gesetz)
(a ± b) * c = a * c ± b * c

Prozen­tre­chnung

Prozen­twert
P = G * p% ; mit p% = p/100
Prozen­tsatz
p% = P / G
Grundwert
G = P / p%

Zinsre­chnung

Zinsen
Z = K * p% * t/360 ; mit p% = p/100
Zinssatz
p% = Z/K * 360/t
Kapital
K = Z/p% * 360/t
Tage
t = Z / (K * p%) * 360

Binomische Formeln

1. binomische Formel
(a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ab + b²= a² + 2ab + b²
2. binomische Formel
(a - b)² = (a - b) * (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel
(a + b) * (a - b) = a² - ab + ab - b²= a² - b²

Flächen und Umfang

Rechteck
A = a * b = g * h ; Grundseite * Höhe
U = 2a + 2b
Parall­elo­gramm
A = g * h
U = 2a + 2b
Trapez
A = 1/2 * (a + c) * h
U = a + b + c + d
Dreieck
A = 1/2 * g * h
U = a + b + c
Drache­nvi­ereck
A = 1/2 * e * f
U = 2a + 2b ; (a = d und b = c)
Kreis
A = π * r²
U = 2π * r

Volumen und Oberfläche

Quader
V = a * b * c
O = 2 * G + M = 2 * (a * b + a * c + b * c)
Pyramide
V = 1/3 * G * h = 1/3 * a² * h
O = G + M = a² + 2 * a * hs
   
hs = √((a/2)² + h²)
Kegel
V = 1/3 * G * h = 1/3 * (π * r²) * h
O = G + M = π * r² + π * r * s
   
s = √(r² + h²)

Satzgruppe des Pythagoras (Bild)

Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras
a² + b² = c² ; mit den Katheten a und b und der Hypoth­enuse c
Kathet­ensatz
a² = p * c ; b² = q * c
 
p ist der Hypote­nus­ena­bsc­hnitt unter a und q ist der Hypoth­enu­sen­abs­chnitt unter b.
Höhensatz
h² = p * q

Lineare Funktionen

Allgemeine Form
f(x) = mx + b
Punkt-­Ste­igu­ngs­-Form
f(x) = m(x - Px) + Py
Nullst­ell­en-Form
f(x) = m(x - n)
Achsen­abs­chn­itt­s-Form
f(x) = Sy - Sy/Sx * x
 
y-Achs­ena­bsc­hnitt
f(0) = m * 0 + b = b
Steigung
m = Δy / Δx = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Lineare Gleichung

mx + b = 0
x = -b / m

Lineare Gleich­ung­ssy­steme lösen

1. Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleich­set­zun­gsv­erf­ahren werden zwei Gleich­ungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschl­ießend werden die beiden erhaltenen Terme gleich­ges­etzt. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die eine Variable weniger als das ursprü­ngliche Gleich­ung­ssystem enthält. Durch Auflösen erhält man den oder die Werte der verbli­ebenen Variablen und durch Einsetzen dieser Lösung(en) in eine der beiden Ausgan­gsg­lei­chungen die zugehö­rigen Werte der zuvor elimin­ierten Variablen.
2. Einsetzungsverfahren
Beim Einset­zun­gsv­erf­ahren wird eine der Gleich­ungen nach einer Variablen aufgelöst und der so erhaltene Term in die anderen Gleich­ungen einges­etzt. Dadurch wird die entspr­echende Variable „elimi­niert“. Manchmal kann man auf diese Art schrit­tweise alle Variablen bis auf eine elimin­ieren (insbe­sondere bei linearen Gleich­ung­ssy­ste­men), so dass nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt. Lässt sich diese auflösen, so kann man dann von unten alle Variablen einsetzen (Rücks­ubs­tit­ution), um die Werte für alle anderen Variablen zu erhalten.
3. Additionsverfahren
Beim Additi­ons­ver­fahren werden Gleich­ungen addiert. Darunter versteht man das separate Addieren der Terme der linken Seite der Gleich­ungen und der rechten Seiten der Gleich­ungen, wodurch eine neue Gleichung entsteht. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder mehrere Unbekannte in den Gleich­ungen versch­winden („elim­iniert“ werden). Dazu werden die Gleich­ungen ggf. vorher mit geeigneten Zahlen multip­liz­iert.

Quadra­tische Funktionen

Allgemeine Form
f(x) = ax² + bx+ c
Normal­-Form
f(x) = x² + px + q
Scheit­elp­unk­t-Form
f(x) = a(x - Px)² + Py
 
Öffnun­gsf­aktor
a = Δy / (Δx)² = (Py - Sy) / (Px - Sx)²

Quadra­tische Gleich­ungen

ax² + bx + c = 0
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
x² + px + q = 0
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Sonder­fälle
ax² + c = 0
x = ±√(-c/a)
ax² + bx = x(ax + b) = 0
x = 0 ; x = -b/a

Potenz­gesetze

Formel
Beispiel
1. am * an = am + n
43 * 42 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4) = 43 + 2 = 45
2. am / an = am - n
43 / 42 = (4 * 4 * 4 ) / (4 *4) = 43 - 2 = 41 = 4
3. (a * b)n = an * bn
(4 * 3)2 = (4 * 3) * (4 * 3) = (4 * 4) * (3 * 3) = 42 * 32
4. (a / b)n = an / bn
(4 / 3)2 = (4 / 3) * (4 / 3) = (4 * 4) / (3 * 3) = 42 / 32
5. (am)n = am * n
(43)2 = (43) * (43) = 43 + 3 = 42 * 3 = 46

Expone­nti­alf­unk­tionen

Expone­nti­alf­unktion mit der Asymptote y = d
f(x) = a * bx / c [+ d]
Horizo­ntale Asymptote
y = d ; d ist oft gleich 0.
Wachstums- bzw. Abnahm­e-F­aktor
b = 1 ± p% ; für c Einheiten von x
y-Achs­ena­bsc­hnitt
f(0) = a

Gleich­ungen Lösen

1. Direktes Auflösen
Enthält die Gleichung die Unbekannte nur an einer Stelle, kann direkt zur Unbeka­nnten aufgelöst werden.
2. Satz vom Nullpr­odukt
Ist ein Produkt A * B = 0 so muss wenigstens einer der Faktoren A oder B Null sein.
3. Hilfsm­ittel VAMPS
 
V - Satz von Vieta
x² + (a + b) * x + a * b = (x + a) * (x + b)
A - Auskla­mmern
ax² + bx = x * (ax + b)
M - Mitter­nac­hts­-Formel
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
oder pq-Formel
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
P - Polyno­mdi­vision / Horner Schema
(x³ - a³) / (x - a) = x² + ax + a²
S - Substi­tution
z.B. z = x² oder z = ex

Trigon­ometrie

Satz des Pythagoras
a² + b² = c² ; mit c als Hypoth­enuse
Sinus
sin(α) = Gegenk­athete / Hypoth­enuse
Kosinus
cos(α) = Ankathete / Hypoth­enuse
Tangens
tan(α) = Gegenk­athete / Ankathete

Trigon­ome­trische Funktionen

Allgemeine Sinus-­Fun­ktion
f(x) = a * sin(b * (x - c)) + d
Allgemeine Kosinu­s-F­unktion
f(x) = a * cos(b * (x - c)) + d
Parameter a
Streck­faktor in y-Richtung
Parameter b
Stauch­faktor in x-Richtung
Parameter c
Versch­iebung nach rechts
Parameter d
Versch­iebung nach oben
 
Wissen­swertes
sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)
sin(x - 90°) = -cos(x)
cos(x - 90°) = sin(x)
sin²(x) + cos²(x) = 1

Ableit­ung­sregeln

1. Potenz­regel
( xn )' = n * xn - 1
2. Konsta­nte­nregel
( k )' = 0
3. Faktor­regel
( k * u(x) )' = k * u'(x)
4. Summen­regel
( u(x) + v(x) )' = u'(x) + v'(x)
 
5. Ketten­regel
( u(v(x)) )' = u'(v(x)) * v'(x) ; äußere Abl. mal innere Abl.
6. Produk­tregel
( u(x) * v(x) )' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
7. Quotie­nte­nregel
( u(x) / v(x) )' = ( u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x) ) / v²(x)
 

Metadata

Comments

No comments yet. Add yours below!

Add a Comment

Your Comment

Please enter your name.

    Please enter your email address

      Please enter your Comment.

          Related Cheat Sheets

          Year 9 Mathematics Cheat Sheet
          Trigonometry Questions Year 9 Cheat Sheet