Show Menu
Cheatography

Matrici e Vettori Cheat Sheet (DRAFT) by

This is a draft cheat sheet. It is a work in progress and is not finished yet.

Operazioni tra Vettori

Somma e Differenza tra vettori
u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
u-v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3)
Proprietà della Somma
• Commut­ativa: u+v = v+u
• Associ­ativa: u + (v + w) = (u + v) + w
• Elemento neutro: v + 0 = v
• Opposto: v t.c v + (- v) = 0
Prodotto di un Vettore per uno Scalare
u · a = ( u1 · a, u2 · a, u3 · a)
il risultato è un altro vettore.
Se a = 0 o v = 0 (vettore nullo) , allora a · v è il vettore nullo.
Proprietà del prodotto di un Vettore per uno Scalare
(1) Distri­but­ività del prodotto rispetto alla somma tra vettori:
a·(u + v ) = a·u + a·v (con u e v vettori, a scalare).
(2) Distri­but­ività del prodotto rispetto alla somma tra scalari:
(a + b)·v = a·v + b·v (con v vettore, a e b scalari).
(3) Associ­ativa: a · (b · v) = (a · b) · v (con v vettore, a e b scalari).
(4) Esistenza dell'e­lemento neutro: 1 · v = v per ogni vettore .
Prodotto Vettoriale
1) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore! Occhio a non fare confusione con il prodotto scalare, che è per l'appunto uno scalare in termini algebrici
2) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale ad entrambi i vettori.
3) Il prodotto vettoriale è un'ope­razione definita solamente con vettori di R3.
Non è possibile cioè calcolarlo con vettori in Rn con n≠3 né in qualsiasi altro spazio vettoriale.
4) Il modulo del prodotto vettoriale tra v,w è dato da
|v X w| = |v| · |w| · sin(0)
la direzione è perpen­dic­olare al piano indivi­duato da v,w.
5) Per indivi­duare il verso del prodotto vettoriale si ricorre alla regola della mano destra: si dispone il pollice nella direzione e nel verso del primo vettore, e l'indice nella direzione e nel verso del secondo vettore. Disten­dendo il dito medio, si hanno la direzione e il verso cui punta il prodotto .
Come calcolare prodotto vettoriale
dati v=[v1, v2, v3] e w=[w1, w2, w3]
chiamiamo (i, j, k) i tre versori degli assi coordi­nati, Vale la formula:
v X w = (v2·w3 – v3·w2) · i + (v3·w1 – v1·w3) · j + (v1·w2 – v2·w1) · k
Prodotto scalare tra due vettori
v · w = (v1 · w1) + (v2 · w2) + (v3 · w3)
 

Vettori

Indipe­ndenza lineare
Se DET = 0 allora sono Linear­mente Dipendenti
Se DET ≠ 0 allora sono Linear­mente Indipe­ndenti
Ortogo­nalità
Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare fa 0

Appunti su esercizi esame

Dire se i vettori v1, v2, v3 ,v4 generano R3 o Determ­inare un insieme massimale
dobbiamo mettere i vettori in una matrice 3x4 dispon­endoli per colonna, calcolare la riduzione di gauss e vedere quanti pivot non nulli ci sono, se sono >= di R3 allora ok se < allora i vettori non posso generare R3.
Estrarre base
bisogna mettere 3 vettori tra quelli dispon­ibili dentro una matrice 3x3 e calcolare il determ­inate, se = 0 allora sono lin. Dipendenti e non vanno bene come base, se il determ­inate ≠ 0 allora sono lin. Indipe­ndenti e generano una base di R3.
Completare una base di R3
bisogna aggiungere un vettore che faccia rimanere lin. Indipe­ndente il sistema.
Quindi facciamo il prodotto righe per colonne tra la matrice con i due vettori e il vettore colonna (x, y ,z), poniamo tutto a sistema e lo risolviamo sostit­uendo il parametro libero t e alla fine scriviamo la soluzione come il prodotto tra il vettore che abbiamo trovato e il parametro libero t, Es. (x, y, z) = (0, 0, 1) · t

Matrici

Per determ­inare le soluzioni del sistema Ak X = B già ridotto nel primo es.
Moltip­licare la matrice ridotta per B trovando così il vettore colonna con i risultati.
Per verificare moltip­lic­hiamo la matrice A di partenza non ridotta per i risultati e deve venire come risultato il vettore colonna B.
Per determ­inare le soluzioni del sistema Ak X = B con mat da ridurre.
Ridurre la matrice (Ak |B) con k sostit­uito, mettere la matrice a sistema e risolvere per trovare le soluzioni.
Se c’è una riga nulla allora è =t parametro libero e ci sono ∞^1 soluzioni, per verificare moltiplico (Ak) non ridotta per i risultati (X) e devo ottenere (B).
Se la matrice è (2x3) e devo moltip­licarla per un vettore colonna con 2 elementi allora la colonna in più Z è parametro libero.
Per Determ­inare quante sono le soluzioni del sist. Ak X = B al var di k.
Calcolo il Det di (Ak) e riduco la matrice con il valore (o valori) del determinante.
Se c’è una riga discor­dante per es. (000|6) dato che 0 ≠ 6 allora per per quel k non ci sono soluzioni.
Se c’è una riga nulla allora ∞^1 soluzioni per quel k.
Quindi per k ∈ R \ { (k che non ha soluzioni) } il sist. Ha unica soluzione.