\documentclass[10pt,a4paper]{article}

% Packages
\usepackage{fancyhdr}           % For header and footer
\usepackage{multicol}           % Allows multicols in tables
\usepackage{tabularx}           % Intelligent column widths
\usepackage{tabulary}           % Used in header and footer
\usepackage{hhline}             % Border under tables
\usepackage{graphicx}           % For images
\usepackage{xcolor}             % For hex colours
%\usepackage[utf8x]{inputenc}    % For unicode character support
\usepackage[T1]{fontenc}        % Without this we get weird character replacements
\usepackage{colortbl}           % For coloured tables
\usepackage{setspace}           % For line height
\usepackage{lastpage}           % Needed for total page number
\usepackage{seqsplit}           % Splits long words.
%\usepackage{opensans}          % Can't make this work so far. Shame. Would be lovely.
\usepackage[normalem]{ulem}     % For underlining links
% Most of the following are not required for the majority
% of cheat sheets but are needed for some symbol support.
\usepackage{amsmath}            % Symbols
\usepackage{MnSymbol}           % Symbols
\usepackage{wasysym}            % Symbols
%\usepackage[english,german,french,spanish,italian]{babel}              % Languages

% Document Info
\author{Lidenbrock}
\pdfinfo{
  /Title (matrici-e-vettori.pdf)
  /Creator (Cheatography)
  /Author (Lidenbrock)
  /Subject (Matrici e Vettori Cheat Sheet)
}

% Lengths and widths
\addtolength{\textwidth}{6cm}
\addtolength{\textheight}{-1cm}
\addtolength{\hoffset}{-3cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\setlength{\tabcolsep}{0.2cm} % Space between columns
\setlength{\headsep}{-12pt} % Reduce space between header and content
\setlength{\headheight}{85pt} % If less, LaTeX automatically increases it
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % Remove footer line
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % Remove header line
\renewcommand{\seqinsert}{\ifmmode\allowbreak\else\-\fi} % Hyphens in seqsplit
% This two commands together give roughly
% the right line height in the tables
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\onehalfspacing

% Commands
\newcommand{\SetRowColor}[1]{\noalign{\gdef\RowColorName{#1}}\rowcolor{\RowColorName}} % Shortcut for row colour
\newcommand{\mymulticolumn}[3]{\multicolumn{#1}{>{\columncolor{\RowColorName}}#2}{#3}} % For coloured multi-cols
\newcolumntype{x}[1]{>{\raggedright}p{#1}} % New column types for ragged-right paragraph columns
\newcommand{\tn}{\tabularnewline} % Required as custom column type in use

% Font and Colours
\definecolor{HeadBackground}{HTML}{333333}
\definecolor{FootBackground}{HTML}{666666}
\definecolor{TextColor}{HTML}{333333}
\definecolor{DarkBackground}{HTML}{A3A3A3}
\definecolor{LightBackground}{HTML}{F3F3F3}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
\color{TextColor}

% Header and Footer
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{} % Set header to blank
\fancyfoot{} % Set footer to blank
\fancyhead[L]{
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{C}
    \SetRowColor{DarkBackground}
    \vspace{-7pt}
    {\parbox{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep\relax}{\noindent
        \hspace*{-6pt}\includegraphics[width=5.8cm]{/web/www.cheatography.com/public/images/cheatography_logo.pdf}}
    }
\end{tabulary}
\columnbreak
\begin{tabulary}{11cm}{L}
    \vspace{-2pt}\large{\bf{\textcolor{DarkBackground}{\textrm{Matrici e Vettori Cheat Sheet}}}} \\
    \normalsize{by \textcolor{DarkBackground}{Lidenbrock} via \textcolor{DarkBackground}{\uline{cheatography.com/63244/cs/16156/}}}
\end{tabulary}
\end{multicols}}

\fancyfoot[L]{ \footnotesize
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{LL}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{2}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheatographer}}  \\
  \vspace{-2pt}Lidenbrock \\
  \uline{cheatography.com/lidenbrock} \\
  \end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheat Sheet}}  \\
   \vspace{-2pt}Not Yet Published.\\
   Updated 2nd July, 2018.\\
   Page {\thepage} of \pageref{LastPage}.
\end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Sponsor}}  \\
  \SetRowColor{white}
  \vspace{-5pt}
  %\includegraphics[width=48px,height=48px]{dave.jpeg}
  Measure your website readability!\\
  www.readability-score.com
\end{tabulary}
\end{multicols}}




\begin{document}
\raggedright
\raggedcolumns

% Set font size to small. Switch to any value
% from this page to resize cheat sheet text:
% www.emerson.emory.edu/services/latex/latex_169.html
\footnotesize % Small font.

\begin{multicols*}{2}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Operazioni tra Vettori}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Somma e Differenza tra vettori & u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) \{\{nl\}\} u-v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3) \tn 
% Row Count 4 (+ 4)
% Row 1
\SetRowColor{white}
Proprietà della Somma & • Commutativa: u+v = v+u \{\{nl\}\} • Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w \{\{nl\}\}    • Elemento neutro: v + 0 = v\{\{nl\}\} • Opposto: v  t.c  v + (- v) = 0 \tn 
% Row Count 12 (+ 8)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Prodotto di un Vettore per uno Scalare & u · a = ( u1 · a, u2 · a, u3 · a) \{\{nl\}\}  il risultato è un altro vettore. \{\{nl\}\}  Se a = 0   o   v = 0 (vettore nullo) , allora a · v è il vettore nullo. \{\{nl\}\} \tn 
% Row Count 21 (+ 9)
% Row 3
\SetRowColor{white}
Proprietà del prodotto di un Vettore per uno Scalare & (1) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori: \{\{nl\}\} a·(u + v ) = a·u + a·v (con u  e v vettori, a scalare).\{\{nl\}\} (2) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari:\{\{nl\}\} (a + b)·v = a·v + b·v (con v vettore, a e b scalari).\{\{nl\}\} (3) Associativa: a · (b · v) = (a · b) · v  (con v vettore, a e b scalari).\{\{nl\}\} (4) Esistenza dell'elemento neutro: 1 · v = v per ogni vettore .\{\{nl\}\} \tn 
% Row Count 43 (+ 22)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Operazioni tra Vettori (cont)}}  \tn
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
Prodotto Vettoriale & 1) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore! Occhio a non fare confusione con il prodotto scalare, che è per l'appunto uno scalare in termini algebrici\{\{nl\}\} 2) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale ad entrambi i vettori.\{\{nl\}\} 3) Il prodotto vettoriale è un'operazione definita solamente con vettori di R3.\{\{nl\}\} Non è possibile cioè calcolarlo con vettori in Rn con n≠3 né in qualsiasi altro spazio vettoriale.\{\{nl\}\} 4) Il modulo del prodotto vettoriale tra v,w è dato da\{\{nl\}\} |v X w| = |v| · |w| · sin(0)\{\{nl\}\} la direzione è perpendicolare al piano individuato da v,w.\{\{nl\}\} 5) Per individuare il verso del prodotto vettoriale si ricorre alla regola della mano destra: si dispone il pollice nella direzione e nel verso del primo vettore, e l'indice nella direzione e nel verso del secondo vettore. Distendendo il dito medio, si hanno la direzione e il verso cui punta il prodotto .\{\{nl\}\} \tn 
% Row Count 48 (+ 48)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Operazioni tra Vettori (cont)}}  \tn
% Row 5
\SetRowColor{LightBackground}
Come calcolare prodotto vettoriale & dati v={[}v1, v2, v3{]}  e  w={[}w1, w2, w3{]}	\{\{nl\}\} chiamiamo (i, j, k) i tre versori degli assi coordinati, Vale la formula:\{\{nl\}\} v X w = (v2·w3 – v3·w2) · i + (v3·w1 – v1·w3) · j + (v1·w2 – v2·w1) · k \tn 
% Row Count 11 (+ 11)
% Row 6
\SetRowColor{white}
Prodotto scalare tra due vettori & v · w = (v1 · w1) + (v2 · w2) + (v3 · w3) \tn 
% Row Count 14 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{2.64 cm} x{5.36 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Vettori}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Indipendenza lineare & Se DET = 0 allora sono Linearmente Dipendenti\{\{nl\}\} Se DET ≠ 0 allora sono Linearmente Indipendenti \tn 
% Row Count 4 (+ 4)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\seqsplit{Ortogonalità} & Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare fa 0 \tn 
% Row Count 7 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Appunti su esercizi esame}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Dire se i vettori v1, v2, v3 ,v4 generano R3 o Determinare un insieme massimale & dobbiamo mettere i vettori in una matrice 3x4 disponendoli per colonna, calcolare la riduzione di gauss e vedere quanti pivot non nulli ci sono, se sono \textgreater{}= di R3 allora ok se \textless{} allora i vettori non posso generare R3. \tn 
% Row Count 11 (+ 11)
% Row 1
\SetRowColor{white}
Estrarre base & bisogna mettere 3 vettori tra quelli disponibili dentro una matrice 3x3 e calcolare il determinate, se = 0 allora sono lin. Dipendenti e non vanno bene come base, se il determinate ≠ 0 allora sono lin. Indipendenti e generano una base di R3. \tn 
% Row Count 24 (+ 13)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Completare una base di R3 & bisogna aggiungere un vettore che faccia rimanere lin. Indipendente il sistema.\{\{nl\}\} Quindi facciamo il prodotto righe per colonne tra la matrice con i due vettori e il vettore colonna (x, y ,z), poniamo tutto a sistema e lo risolviamo sostituendo il parametro libero t e alla fine scriviamo la soluzione come il prodotto tra il vettore che abbiamo trovato e il parametro libero t, Es. (x, y, z) = (0, 0, 1)  · t \tn 
% Row Count 45 (+ 21)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Matrici}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
Per determinare le soluzioni del sistema Ak X = B già ridotto nel primo es. & Moltiplicare la matrice ridotta per B trovando così il vettore colonna con i risultati.\{\{nl\}\} Per verificare moltiplichiamo la matrice A di partenza non ridotta per i risultati e deve venire come risultato il vettore colonna B. \tn 
% Row Count 12 (+ 12)
% Row 1
\SetRowColor{white}
Per determinare le soluzioni del sistema Ak X = B con mat da ridurre. & Ridurre la matrice (Ak |B) con k sostituito, mettere la matrice a sistema e risolvere per trovare le soluzioni. \{\{nl\}\} Se c'è una riga nulla allora è =t parametro libero e ci sono ∞\textasciicircum{}1 soluzioni, per verificare moltiplico (Ak) non ridotta per i risultati (X) e devo ottenere (B).\{\{nl\}\} Se la matrice è (2x3) e devo moltiplicarla per un vettore colonna con 2 elementi allora la colonna in più Z è parametro libero. \tn 
% Row Count 34 (+ 22)
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\vfill
\columnbreak
\begin{tabularx}{8.4cm}{x{4 cm} x{4 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{8.4cm}}{\bf\textcolor{white}{Matrici (cont)}}  \tn
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
Per Determinare quante sono le soluzioni del sist. Ak X = B al var di k. & Calcolo il Det di (Ak) e riduco la matrice con il valore (o valori) del determinante.\{\{nl\}\} Se c'è una riga discordante per es. (000|6) dato che 0 ≠ 6 allora per per quel k non ci sono soluzioni.\{\{nl\}\} Se c'è una riga nulla allora ∞\textasciicircum{}1 soluzioni per quel k.\{\{nl\}\} Quindi per k ∈ R \textbackslash{} \{ (k che non ha soluzioni) \} il sist. Ha unica soluzione. \tn 
% Row Count 18 (+ 18)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}


% That's all folks
\end{multicols*}

\end{document}