Elementos de un contraste de hipótesis
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Hipótesis nula H0 hipótesis que estamos dispuestos a aceptar si no encontramos evidencia suficiente de la hipótesis alternativa. Suele plantearse en términos de “no hay diferencia”.
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Hipótesis alternativa H1 aquella de la que buscamos evidencia en nuestro estudio
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Contraste unilateral contraste en el que la hipótesis alternativa viene definida por un > o un < : que un parámetro sea mayor que un valor dado, que un parámetro sobre una población sea menor que el mismo parámetro sobre otra población, …
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Contraste bilateral contraste en el que la hipótesis alternativa viene definida por un ≠ : que un parámetro sea diferente de un valor dado, que un parámetro sobre una población sea diferente del mismo parámetro sobre otra población, …
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Error de tipo I Falso positivo: concluir que la hipótesis alternativa es verdadera cuando en realidad es falsa.
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Nivel de significación alpha la probabilidad de cometer un error de tipo I, es decir, de la H1 sea falsa Suele fijarse en 5%
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Nivel de confianza (1-alpha) la probabilidad de no cometer un error de tipo I
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Error de tipo II Falso negativo: concluir que la hipótesis alternativa es falsa cuando en realidad es verdadera.
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Potencia (1-b) la probabilidad de no cometer un error de tipo II.
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Estadístico de contraste el valor que se calcula a partir de la muestra obtenida en el estudio y que se usará para tomar la decisión en el contraste planteado.
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p-valor valor de probabilidad, por lo que oscila entre 0 y 1. El p-valor nos muestra la probabilidad de haber obtenido un resultado satisfactorio suponiendo que la hipótesis nula 𝐻0 es cierta. Es decir, lo utilizamos para saber si rechazamos o no 𝐻0 .
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Intervalo de confianza intervalo en el que, en el (1−α)×100% de las ocasiones, contiene el valor del estadístico del contraste
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Regla de decisión rechazamos la hipótesis nula en favor de la alternativa con un nivel de significación α cuando el p-valor es menor o igual que el nivel de significación 𝛼 .
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Contraste de hipótesis de bondad de ajuste
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1. Fijar la familia de distribuciones teóricas Si la familia es la Bernoulli, el parámetro es 𝑝 : la probabilidad poblacional de éxito.
Si la familia es la Poisson, el parámetro es λ : la esperanza.
Si la familia es la binomial, los parámetros son 𝑛 y 𝑝 : el tamaño de las muestras y la probabilidad de éxito, respectivamente.
Si la familia es la normal, los parámetros son 𝜇 y 𝜎 : la esperanza y la desviación típica, respectivamente
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2. Si el diseño del experimento no fija sus valores, tendremos que estimar a partir de la muestra los valores de los parámetros que mejor se ajusten a nuestros datos. Ya hemos tratado este asunto en el Notebook 1 con la función fitdist, pero también existe una librería llamada $\tt MASS$ que tiene la función fitdistr
que nos estima directamente los parámetros de todas las distribuciones vistas anteriormente según la familia. Tenemos que saber, a priori, que distribución se ajusta mejor a nuestro conjunto de datos. library(MASS)
fitdistr(x, densfun="poisson")
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3. Realizar el contraste y comprobar si rechazamos (o no) la hipótesis nula planteada. Se usa el test de Kolgomorov-Smirnov (K-S). El test K-S se puede utilizar para saber si 1 muestra se ajusta a una distribución determinada o para comparar si dos muestras se ajustan a la misma distribución. Su sintaxis básica es ks.test(x, y, parámetros)
donde: x
es la muestra de una variable continua. y
puede ser un segundo vector, y entonces se contrasta si ambas muestras han sido generados por la misma distribución continua, o el nombre de la función de distribución (empezando con p
) que queremos contrastar, entre comillas; por ejemplo "pnorm"
para la distribución normal. Los parámetros
de la función de distribución si se ha especificado una; por ejemplo mean=0
, sd=1
para una distribución normal estándar. Si el p-valor es mayor que 0.05 NO podemos rechazar nuestra hipótesis nula 𝐻0 . Es decir, SÍ provienen de la misma distribución de probabilidad (con mismos valores de los parámetros). |
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Uso de gráficos para comparar una distribución con otra boxplot(data1, data2, main="Boxplot data1 vs data2")
#o
par(mfrow=c(1,2))
hist(data1,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma",sub="Datos 1")
hist(data2,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma",sub="Datos 2")
par(mfrow=c(1,1))
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3.2. Si estamos trabajando con una distribución normal también podemos utilizar el test de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors (K-S-L). Al contrario que el test K-S, el test K-S-L nos dice si los datos provienen de una distribución normal sin aportar los parámetros. library(nortest)
lillie.test(data)
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Contrastes de hipótesis medias paramétricos
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Requisitos Que las muestras procedan de poblaciones en las que las variables se distribuyan normalmente. Test de Kolmogorov y Smirnov o KSL
Que las varianzas en ambas poblaciones no difieran significativamente. La 𝐻0 en este caso es que las varianzas son iguales. Test de Barlett
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bartlett.test(list(data1,data2)) |
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Ahora se realiza el contraste de hipótesis de medias con el test t de Student. |
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t.test(x, y, mu=..., alternative=..., conf.level=..., paired=..., var.equal=...) mu para especificar el valor de la media que queremos contrastar en un test de una media. paired para indicar si en un contraste de dos medias usamos muestras independientes o emparejadas. El parámetro paired
solo lo tenemos que especificar si llevamos a cabo un contraste de dos medias. En este caso, con paired=TRUE
indicamos que las muestras son emparejadas, y con paired=FALSE
(que es su valor por defecto) que son independientes var.equal para indicar en un contraste de dos medias usando muestras independientes si las varianzas poblacionales son iguales (igualándolo a TRUE) o diferentes (igualándolo a FALSE, que es su valor por defecto). conf.level es el nivel de confianza $1-\alpha$. En esta función, y en todas las que explicamos a lo largo de este capítulo, su valor por defecto, que no es necesario especificar, es 0.95, que corresponde a un nivel de confianza del 95%, es decir, a un nivel de significación $\alpha=0.05$. alternative="two.sided" "lower" "greater"
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t.test(x, mu=2)$p.value |
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t.test(x, mu=2)$conf.int |
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t.test(x, mu=2)$conf.int[1] |
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t.test(x, mu=2)$conf.int[2] |
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t.test(S, V, alternative="less", var.equal=TRUE) Ejemplo con lontiud de sépalos de iris setosa y virginica
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t.test(Hiosciamina, Hioscina, alternative="less", paired=TRUE) Ejemplo test somníferos
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t.test(bwt~smoke, data=birthwt, alternative="greater", paired=FALSE, var.equal=TRUE) Ejemplo con birthweight, donde smoke puede ser 0 o 1
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Con no p mediana
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Test de signos permite contrastar si la mediana de una variable aleatoria cualquiera es un valor dado k estudiando la distribución de los signos de las diferencias entre este valor y los de una muestra (si la mediana fuera k, los números de diferencias positivas y negativas en muestras aleatorias seguirían distribuciones binomiales con p=0.5).
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contrasta si la mediana de una sola variable difiere de un valor elegido. Es decir, 𝐻0:𝜇=𝑘 . |
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NO se puede aplicar a dos muestras independientes |
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se puede aplicar a dos mue. En este caso, la hipótesis nula del contraste que realiza es que 𝐻0 : la mediana de las diferencias de las dos variables es 0. |
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library(BSDA) |
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SIGN.test(colesterol, md=220, alternative="two.sided", conf.level=0.95) |
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Test de Wilcoxon Asume que las variables son simétricas, es decir, media=mediana
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contrasta si la mediana de una sola variable difiere de un valor elegido. Es decir, 𝐻0:𝜇=𝑘 . |
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NO se puede aplicar a dos muestras independientes. |
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se puede aplicar a dos muestras emparejadas. |
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wilcox.test(colesterol, mu=220, alternative="two.sided",conf.level=0.95) |
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wilcox.test(Hiosciamina, Hioscina, alternative="less", paired=TRUE) |
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En este caso R nos avisa de nuevo de que el p-valor no es exacto, pero esto no afecta a la conclusión dado que el p-valor es muy pequeño: rechazamos la hipótesis nula en favor de la alternativa y también concluimos con este test no paramétrico que la hioscina tiene un mayor efecto somnífero que la hiosciamina. |
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Test de Mann-Whitney No utiliza la varianza
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NO se puede aplicar para una muestra. |
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NO se puede aplicar a dos muestras emparejadas. |
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se puede aplicar a dos muestras independientes. |
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wilcox.test(hijos.20, hijos.30, alternative="two.sided",paired=FALSE) |
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