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Feuille de formules pour l'examen de Vibrations
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Mouvements Périodiques
Mouvements périodiques => Mouvements sinusoïdales x=Acos(wt+α) |
Forme équation de mouvement : d²x/dt² + w²x=0 avec w=√(k/m) |
Superposition
Fréquences égales : x = A cos(wt+φ) avec : A²=(A1)²+(A2)²+2(A1)(A2)cos(φ2-φ1) et tg φ = (A1sinφ1 + A2sinφ2)/(A1cosφ1 + A2cosφ2) |
Battements : A1≠A2 & f1≠f2 mais proches: f = | (w1-w2)/2π | = | f1 - f2 | |
Oscillations libres
Eq diff du mvt : (1) d²x/dt² + w²x=0 #Newton (2) E=1/2 m(dx/dt)² + 1/2 kx² #Energie |
MHS rectiligne = résultantes de 2 mvts circulaires réels et opposés de même module |
Courbe de Lissajous = mvt de 2 oscillations de même amplitude, rectilignes et perpendiculaires |
Objets flottants : md²y/dt² = -ρgAy avec A:aire section droite de l'objet, y: déplacement =>w=√(ρgA/m) |
Pendule : E = 1/2 m (dx/dt)² + (mg/2l)y² => w=√(g/l) |
Tube en U : E = 1/2 ρAl(dy/dt)² + gρAy² => w²=2g/l avec A: aire, l: long. tot. liquide, y: position surface du liquide % position d'équilibre |
MHS amorti
Force de frottements visqueux : F = -bv avec b=coeff de frottement |
Eq diff du mvt : md²x/dt² + bdx/dt +kx=0 => d²x/dt² + b/m dx/dt + k/m x =0 => wo²=k/m ; γ=b/m => pour tout le système : w = √(wo² - γ²/4) |
Facteur de qlté : Q = wo/γ |
Amplitude après n cycles : A(n) = Ao e-nγ/2 |
Rapport des amplitudes après n cycles : An/Ao = exp(nπ/Q) |
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Oscillateurs couplés et modes normaux
1) Sys. d'eq. diff. 2) Sol forme xn=Ane jwt (initialement au repos)
xn=Ane j(wt+αxn) (initialement en mouvement)
3)Sys. d'eq. 4)Div par me jwt->Matrice mode normaux 5)[wo²,ws²,w²][A,B...]=[0...0] 6)Echelonner ou faire ▲=0 pour trouver w |
N.B. Prendre en compte la tension lors des calculs
Ondes transversales
Hypothèses : Fil uniforme de densité linéique 𝜌, Gravité négligeable, T tension constante dans le fil |
Equations d'onde : ∂²y/∂x²=(1/c²)(∂²y/∂t²) =>Sol y=a sin(ω t -Φ)=a sin[2π/λ(ct-x)] 2πc/λ=ω=2πv et Φ=2πx/λ c=λv |
Période des oscillations : λ /c=1/v=τ avec λ:long. d'onde |
ct-x => depl. vers la droite ct+x => depl. vers la gauche |
Expressions équivalentes : y=a sin[(2π/λ)(ct-x)=a sin 2π(vt-x/λ)=a sin ω(t-x/c)=a sin(ωt-kx) |
Vitesse de phase ou vitesse d'onde :∂x/∂t |
Vitesse d'un oscillateur : ∂y/∂t |
Impédance : Z=Force transversale/vitesse transversale = F/v avec F=-T(∂y/∂x) |
∂y/∂t=(-ω/k)(∂y/∂x)=(-∂x/∂t)(∂y/∂x)=-c∂y/∂x |
Déplacement de l'onde : y=Aej(ωt-kx) |
Impédance : Z=Force transversale/vitesse transversale = F/v avec F=-T(∂y/∂x)=jkTAej(ωt-kx) |
A=Fo/jkT=Fo/jω(c/T) |
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Oscillations forcées et résonance
Mvt syst. = combinaison des oscillations de fréquences ω0 (fréquence naturelle) et ω (fréquence force) |
Intervalle de temps où les 2 types de vibration sont présentes = régime transitoire |
Oscillations forcées seules présentes = régime permanent |
Amplitude max => ωo = ω |
Oscillateur forcé non amorti : md2x/dt2 + kx = F0cosωt |
Oscillations forcées avec amortissement : d²x/dt² + ɣ dx/dt + ωo² x = Fo/m cosωt |
1. Trouver eq de forme : md 2x/dt 2 + kx = F0cos ωt 2. Solution : z=A e j(ωt+α)(non amorti)
z =Ae j(ωt-α)(amorti)
3. Regrouper termes semblables 4. Décomposer e ix = cos x + i sin x 5. Système d'eq par identification 6. Résoudre pour A (élever au carré,addition) et tg=sin/cos
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Fréquence max : ωm = ωo(1- 1/(2Q²))1/2 |
Amplitude max : Am = Ao Q/(1- 1/(4Q²))1/2 |
P = dW/dt = F dx/dt = Fv avec F = F0 cos ωt et x= (Fo/m)cos(ωt) / (ωo²-ω²) = C cos ωt (non amorti) ou x=A cos(ωt – δ) (amorti) |
Vitesse max => ω = ω0 = résonnance de vitesse. |
Puissance moyenne : P(ω) = (Fo²ωo/2kQ)*[1/((ωo/ω - ω/ωo)²+1/Q²)] |
Puissance maximale : ω=ωo => Pm = Fo²ωoQ/2k ou QFo²/2mωo |
ɣ=2▲ω=ωo/Q |
E=Eoe-ɣt |
Equation de d'Alembert-Lagrange
Equation de Lagrange : d/dt(∂L/∂q'j) - ∂L/∂qj + ∂R/∂q'j = Qj (horizontal : qj=xj, vertical: qj=yj) |
L = T -V avec T = ∑1/2 mα(vα)2 et V=∑(Fi)(ri) |
Trouver l'équ. diff. du mvt à partir de l'éq. de Lagrange 1. Chercher T et V pour trouver L. 2. R = 0 (pas de frottement proportionnel à la vitesse) et Qj = 0 (pas de forces non conservatives) 3. Plug in it epi lapè. |
Trouver les modes normaux : Après avoir trouvé le syst. d'éq. diff., on met sous forme matricielle 𝐌𝐱" +𝐊𝐱=𝟎 et on résoud en prenant des solutions de la forme 𝐱(t)= [X1est X2est] On doit résoudre 𝐝𝐞𝐭( (𝐌−1𝐊) −λ𝐈 )=𝟎 pour trouver les valeurs propres λ. Ce qui donne des solutions de la forme 𝐱= 𝛟re±jωrt avec ωr= (λr)1/2 et 𝛟r=[a b] lorsqu'on resoud ( (𝐌−1𝐊) −λ𝐈 )[a b]=[0 0] |
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Formulaire de Trigonométrie
cos(x + 2π) = cos x |
sin(x + 2π) = sin x |
cos(x + π) = − cos x |
sin(x + π) = − sin x |
cos(π/2 - x) = sin x |
sin(π/2 - x) = cos x |
cos(π/2 + x) = - sin x |
sin(π/2 + x) = cos x |
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b |
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a |
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b |
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a |
cos(2a) = cos2 a − sin2 a |
sin(2a) = 2 sin a cos a |
cos a cos b = 1/2 (cos(a − b) + cos(a + b)) |
sin a sin b = 1/2 (cos(a + b) - cos(a - b)) |
sin a cos b =1/2 (sin(a + b) + sin(a − b)) |
cos2 a =1/2 (1 + cos(2a)) |
sin2 a =1/2 (1 − cos(2a)) |
cos p + cos q = 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2) |
sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2)cos((p-q)/2) |
cos p - cos q = - 2 cos((p+q)/2)cos((p-q)/2) |
sin p - sin q = -2 cos((p+q)/2)sin((p-q)/2) |
1 + cos x = 2 cos2x/2 |
1 − cos x = 2 sin2x/2 |
cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ |
sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ |
eix + e−ix = 2 cos x |
eix − e−ix = 2i sin x |
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