Logaritmos
Propiedades |
No existe el logaritmo de un número negativo. |
No existe el logaritmo de cero |
El logaritmo de 1 es cero |
El log de base 1 es 1 |
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente |
Ejemplos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
log(xy)= log x + log y
Números complejos
Propiedad transitiva: Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3 |
Propiedades de la suma: Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i |
Existencia del elemento neutro para la suma: 0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma. |
Propiedades de la multiplicación: Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como (a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i |
Propiedades del conjugado: El conjugado de un número complejo z=a+bi, denotado por z¯¯¯, se define como z¯¯¯=a−bi |
Es claro las siguientes El conjugado de un número real es él mismo. El conjugado de un número imaginario puro es el opuesto del número |
Más propiedades del conjugado de z: El conjugado del conjugado es z |
z+z¯¯¯=2Re(z) y z−z¯¯¯=2Im(z) |
Para cualesquiera z∈C, z=a+bi, se tiene que z⋅z¯¯¯=a2+b2 |
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Medidas de tendencia central
Promedio o media |
Mediana |
Moda |
La medida de tendencia central más conocida y utilizada es la media aritmética o promedio aritmético. Se representa por la letra griega µ cuando se trata del promedio del universo o población y por Ȳ (léase Y barra) cuando se trata del promedio de la muestra. Es importante destacar que µ es una cantidad fija mientras que el promedio de la muestra es variable puesto que diferentes muestras extraídas de la misma población tienden a tener diferentes medias. La media se expresa en la misma unidad que los datos originales: centímetros, horas, gramos, etc. Si una muestra tiene cuatro observaciones: 3, 5, 2 y 2, por definición el estadígrafo será: |
Otra medida de tendencia central es la mediana. La mediana es el valor de la variable que ocupa la posición central, cuando los datos se disponen en orden de magnitud. Es decir, el 50% de las observaciones tiene valores iguales o inferiores a la mediana y el otro 50% tiene valores iguales o superiores a la mediana. Si el número de observaciones es par, la mediana corresponde al promedio de los dos valores centrales. |
Es el dato que más se repite. |
(3+5+2+2)/4=3 |
Por ejemplo, en la muestra 3, 9, 11, 15, la mediana es (9+11)/2=10. |
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Medidas de posición
Cuartiles (Q) |
Percentiles (P) |
Qk = k (n/4) |
Pk= Li + ai * k(n/100) - F i-1
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Qk = Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución. |
Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana. Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4) |
Medidas de posición
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Cuartiles (Q) |
Percentiles (P) |
Qk = k (n/4) |
Pk=Li + ai (k n/100 - f i-1
)/f i
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Qk = Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución. |
Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. ai es la amplitud del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra el k% de los datos. n es el total de datos. |
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