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Résumé du cours de maths 1B partie base d'algèbre.
Les intervallesXƐ[a,b] | a <= x <= b | intervalle fermé | XƐ]a,b[ | a < x < b | intervalle ouvert | XƐ[a,b[ | a <= x < b | intervalle ouvert à droite |
Addition d'inégalités-5 < 6 | + 2 -3 < 8 | |
Le signe de l'inégalité n'est pas changé. |
Multiplication d'inégalités-5 < 6 | * 2 10 > -12 | |
Si on multiplie par un nombre négatif on inverse le sens de l'inégalite |
Mise au carré d'inégalités-5 < 6 | ^2 25 < 36 | -6 < 5 | ^2 36 > 25 | |
Il y a inversion de signe si l'inégalité de départ est fausse en valeur absolue. |
Racine carré d'inéquation36 > 25 | √ 6 > 5 | |
Le signe de l'inégalité n'est pas changé. On prend seulement les nombres positifs. |
Inverse de l'inéquation5 < 6 | 1/ 1/5 > 1/6 | -5 < 6 | 1/ -1/5 < 1/6 | |
Le signe de l'inégalité est changé quand les 2 membres sont de mêmes signes. |
valeurs_absolues| a + b | | si a + b > 0 | a + b | | a + b | | si a + b = 0 | 0 | | a + b | | si a + b < 0 | - (a + b) -> -a -b |
Identités remarquables(a - b)2 | a2 - 2ab + b2 | (a - b)2 | a3 -3a2b + 3ab2 - b3 | a2-b2 | (a + b) (a - b) | a3 - b3 | (a - b) (a2 + ab + b2) | Pour n impair : | an + bn | (a + b) (...) | an + bn | (a - b) (...) | Pour n pair : | an + bn | Ne peut être factorisé | an - bn | (a + b) (a - b) (...) | (...) | S'obtient par division polynomiale |
FactorisationMise en évidence : | a2 + 2a | a(2 + a) | Reconnaissance d'identité remarquable : | x2 - 9 | (x + 3) (x - 3) | Regroupement : | aX2 + bX + c | a( X2 + bX/a + c/a) | a( X2 + 2bX/2a + c/a) | a ((X + b/2a)2-b2/4a2+c/a) | a((X+ b/2a)2 - (b2+4ac)/4a | x1 = (-b + √b2 - 4ac )/ 2a | x2 = (-b - √b2 - 4ac )/ 2a |
| | Fonctions quadratiques :f1(x) = x2 | Donne une fonction de type U | f2(x) = (x - q)2 | Donne une fonction de type U avec un décalage q (en x) | f3(x) = p(x-q)2 | Plus p est grand plus la fonction est serré Si p est négatif la fonction part contre le bas. | f4(x) = p (x-q)2 + r | Ajouter r décale la fonciton verticalement (axe y) | y = a ( x - b)2+ o | Le point S est (b; o) | S est un maximum si a < 0 | S est un minimum si a > 0 |
Fonctions quadratiques (les racines)Les racines sont les intersections de la fonction avec l'axe x | x1 = 0 & x2 = 0 | p(x-q)2 + r = 0 | x-q = +ou- √-r/p | x1 = √(-r/p) + q | x2 = -√(-r/p) + q |
Forme Polynomiale en canoniquePour trouver une racine il faut la forme canonique: | f(x) = ax2 + bx + c | a[x2+2(b/2a)*x+(b/2a)2-(b/2a)2+c/a] | a(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a | On veut p(x - q)2 + r | r = - (b2-4ac)/4a | q = -b/2a | p = a | On a donc : a (x - (-b/2a))2 + ((b2-4ac)/4a) |
Factorisation de fonctionp(x) = a(X - X1) (X - X2) | a(X2-X X1 - X X2 + X1 * X2) | aX2 - a(X1 + X2) X + a X1 X2 | On retrouve une équation du second degré. | X1 et X2 sont les racines du polynôme : | P(X1) = a( X1 - X1) ( X1 - X2) = 0 | On sait que X1 - X1 = 0 | P(X2) = a( X2 - X1) ( X2 - X2) = 0 | On sait que X2 - X2 = 0 | Il est facile et toujours possible de passer de la forme factorisé à la forme polynômiale. | S'il n'y a pas de racines réeles (intersection avec l'axe x) on ne pourra pas mettre le polynôme sous forme factorisé c'est donc un pôlynome irréductible! |
Factorisation de fonction degré nPour passer de la forme factorisée à la forme pôlynomiale on procède comme une fonction de degré 2 | Pour l'opération inverse il faut utiliser le Théorème Fondamental de l'algébre. | Tout polynôme Pn(x) de degré n peut s'écrire comme le produit de k polynômes du premier degré et m polynômes irréductibles du seconde degré. | k correspond au nombre de racines réelles de Pn(x) | n = k + 2m | m = (n - k)/2 |
Décomposition en fractions simplesf(x) = N(x) / D(x) | Si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur on effectue une division polynômiale et on pourra factoriser le reste. | E1. Si nécessaire effectuer la division euclidienne et prendre uniquement le reste pour les prochaines étapes : | E2. Factoriser Dn(x) en produit soit de facteur linéaires (px + q)n soit/et en facteurs quadratiques irréductibles (ax2 + bx + c)m | E3. Pour chaque facteur (px + q)n écrire la somme de fractions : A1/(px+q) + A2/(px+q)2 + An/(px+q)n | E4. Pour chaque facteur (ax2 +bx +c)m écrire la somme de fractions simples : ((B1*x + c1)/(ax2+bx+c)) + ((B2x + c2)/(ax2+bx+c)2)+((Bmx + cm)/(ax2+bx+c)m) | E5. Calculer les constantes Ai, Bi, Cien posant que la fraction rationnelle Nk(x) / Dn(x) doit être IDENTIQUE à sa décomposition en fractions simples. |
La décomposition en fractions simples concerne les fonctions rationelles irréductibles. |
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