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Vibrations Rappel Cheat Sheet (DRAFT) by

Feuille de formules pour l'examen de Vibrations

This is a draft cheat sheet. It is a work in progress and is not finished yet.

Mouvements Périod­iques

Mouvements périod­iques => Mouvements sinuso­ïdales x=Acos­(wt+α)
Forme équation de mouvement : d²x/dt² + w²x=0 avec w=√(k/m)

Superp­osition

Fréquences égales : x = A cos(wt+φ) avec : A²=(A1­)²+­(A2­)²+­2(A­1)(­A2)­cos­(φ2-φ1) et tg φ = (A1sinφ1 + A2sinφ­2)/­(A1­cosφ1 + A2cosφ2)
Battements : A1≠A2 & f1≠f2 mais proches: f = | (w1-w2)/2π | = | f1 - f2 |

Oscill­ations libres

Eq diff du mvt : (1) d²x/dt² + w²x=0 #Newton (2) E=1/2 m(dx/dt)² + 1/2 kx² #Energie
MHS rectiligne = résult­antes de 2 mvts circul­aires réels et opposés de même module
Courbe de Lissajous = mvt de 2 oscill­ations de même amplitude, rectil­ignes et perpen­dic­ulaires
Objets flottants : md²y/dt² = -ρgAy avec A:aire section droite de l'objet, y: déplac­ement =>w­=√(­ρgA/m)
Pendule : E = 1/2 m (dx/dt)² + (mg/2l)y² => w=√(g/l)
Tube en U : E = 1/2 ρAl(dy­/dt)² + gρAy² => w²=2g/l avec A: aire, l: long. tot. liquide, y: position surface du liquide % position d'équi­libre

MHS amorti

Force de frotte­ments visqueux : F = -bv avec b=coeff de frottement
Eq diff du mvt : md²x/dt² + bdx/dt +kx=0 => d²x/dt² + b/m dx/dt + k/m x =0 => wo²=k/m ; γ=b/m => pour tout le système : w = √(wo² - γ²/4)
Facteur de qlté : Q = wo/γ
Amplitude après n cycles : A(n) = Ao e-nγ/2
Rapport des amplitudes après n cycles : An/Ao = exp(nπ/Q)
 

Oscill­ateurs couplés et modes normaux

1) Sys. d'eq. diff.
2) Sol forme xn=Anejwt 
(initi­alement au repos)
xn=Anej(wt+αxn) 
(initi­alement en mouvement)

3)Sys. d'eq.
4)Div par mejwt->M­atrice mode normaux
5)[wo²,ws²,w²][A,B...]=[0...0]
6)Echelonner ou faire ▲=0 pour trouver w
N.B. Prendre en compte la tension lors des calculs

Ondes transv­ersales

Hypothèses : Fil uniforme de densité linéique 𝜌, Gravité néglig­eable, T tension constante dans le fil
Equations d'onde : ∂²y/∂x­²=(­1/c­²)(­∂²y­/∂t²)
=>Sol y=a sin(ω t -Φ)=a sin[2π­/λ(­ct-x)]
2πc/λ=­ω=2πv et Φ=2πx/λ
c=λv
Période des oscill­ations : λ /c=1/v=τ avec λ:long. d'onde
ct-x => depl. vers la droite ct+x => depl. vers la gauche
Expres­sions équiva­lentes : y=a sin[(2­π/λ­)(c­t-x)=a sin 2π(vt-­x/λ)=a sin ω(t-x/c)=a sin(ωt-kx)
Vitesse de phase ou vitesse d'onde :∂x/∂t
Vitesse d'un oscill­ateur : ∂y/∂t
Impédance : Z=Force transv­ers­ale­/vi­tesse transv­ersale
= F/v avec F=-T(∂­y/∂x)
∂y/∂t=­(-ω­/k)­(∂y­/∂x­)=(­-∂x­/∂t­)(∂­y/∂­x)=­-c∂y/∂x
Déplac­ement de l'onde : y=Aej(ωt-kx)
Impédance : Z=Force transv­ers­ale­/vi­tesse transv­ersale
= F/v avec F=-T(∂­y/∂­x)=jkTAej(ωt-kx)
A=Fo/jk­T=F­o/j­ω(c/T)
 

Oscill­ations forcées et résonance

Mvt syst. = combin­aison des oscill­ations de fréquences ω0 (fréquence naturelle) et ω (fréquence force)
Intervalle de temps où les 2 types de vibration sont présentes = régime transi­toire
Oscill­ations forcées seules présentes = régime permanent
Amplitude max => ωo = ω
Oscill­ateur forcé non amorti : md2x/dt2 + kx = F0cosωt
Oscill­ations forcées avec amorti­ssement : d²x/dt² + ɣ dx/dt + ωo² x = Fo/m cosωt
1. Trouver eq de forme : md2x/dt2 + kx = F0cos ωt
2. Solution : z=A ej(ωt+α)
(non amorti)
z =Aej(ωt-α)
(amorti)

3. Regrouper termes semblables
4. Décomposer eix = cos x + i sin x
5. Système d'eq par identification
6. Résoudre pour A 
(élever au carré,­add­ition) et tg=sin/cos
Fréquence max : ωm = ωo(1- 1/(2Q²))1/2
Amplitude max : Am = Ao Q/(1- 1/(4Q²))1/2
P = dW/dt = F dx/dt = Fv avec F = F0 cos ωt et x= (Fo/m)­cos(ωt) / (ωo²-ω²) = C cos ωt (non amorti) ou x=A cos(ωt – δ) (amorti)
Vitesse max => ω = ω0 = résonnance de vitesse.
Puissance moyenne : P(ω) = (Fo²ωo­/2k­Q)*­[1/­((ωo/ω - ω/ωo)²­+1/Q²)]
Puissance maximale : ω=ωo => Pm = Fo²ωoQ/2k ou QFo²/2mωo
ɣ=2▲ω=ωo/Q
E=Eoe-ɣt

Equation de d'Alem­ber­t-L­agrange

Equation de Lagrange : d/dt(∂­L/∂q'j) - ∂L/∂qj + ∂R/∂q'j = Qj (horiz­ontal : qj=xj, vertical: qj=yj)
L = T -V avec T = ∑1/2 mα(vα)2 et V=∑(Fi­)(ri)
Trouver l'équ. diff. du mvt à partir de l'éq. de Lagrange
1. Chercher T et V pour trouver L.
2. R = 0 (pas de frottement propor­tionnel à la vitesse) et Qj = 0 (pas de forces non conservatives)
3. Plug in it epi lapè.
Trouver les modes normaux : Après avoir trouvé le syst. d'éq. diff., on met sous forme matric­ielle 𝐌𝐱" +𝐊𝐱=𝟎 et on résoud en prenant des solutions de la forme 𝐱(t)= [X1est X2est] On doit résoudre 𝐝𝐞𝐭( (𝐌−1𝐊) −λ𝐈 )=𝟎 pour trouver les valeurs propres λ. Ce qui donne des solutions de la forme 𝐱= 𝛟re±jωrt avec ωr= (λr)1/2 et 𝛟r=[a b] lorsqu'on resoud ( (𝐌−1𝐊) −λ𝐈 )[a b]=[0 0]
 

Formulaire de Trigon­ométrie

cos(x + 2π) = cos x
sin(x + 2π) = sin x
cos(x + π) = − cos x
sin(x + π) = − sin x
cos(π/2 - x) = sin x
sin(π/2 - x) = cos x
cos(π/2 + x) = - sin x
sin(π/2 + x) = cos x
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a
sin(2a) = 2 sin a cos a
cos a cos b = 1/2 (cos(a − b) + cos(a + b))
sin a sin b = 1/2 (cos(a + b) - cos(a - b))
sin a cos b =1/2 (sin(a + b) + sin(a − b))
cos2 a =1/2 (1 + cos(2a))
sin2 a =1/2 (1 − cos(2a))
cos p + cos q = 2 cos((p­+q)­/2)­cos­((p­-q)/2)
sin p + sin q = 2 sin((p­+q)­/2)­cos­((p­-q)/2)
cos p - cos q = - 2 cos((p­+q)­/2)­cos­((p­-q)/2)
sin p - sin q = -2 cos((p­+q)­/2)­sin­((p­-q)/2)
1 + cos x = 2 cos2x/2
1 − cos x = 2 sin2x/2
cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ
sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ
eix + e−ix = 2 cos x
eix − e−ix = 2i sin x