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Cheatography

Teoria dos Números Cheat Sheet (DRAFT) by

Algumas definições e teoremas

This is a draft cheat sheet. It is a work in progress and is not finished yet.

Grupo

Um grupo pode ser definido sobre um conjunto e uma operação desde que haja associ­ati­vidade, elemento neutro e inverso

Grupo Abeliano (R, +)

- Associ­ativa: a + (b + c) = (a + b) + c
- Existe elemento neutro
- Existe inverso (oposto): para todo a em R existe -a tal que -a + a = 0 onde 0 é o elemento neutro
- Cumuta­tiva: a + b = b + a para todo a,b perten­cente a R

Anel (R, +, .)

- Grupo abeliano
- Operação de multip­licação (.)
- Associ­ati­vidade multip­lic­ativa: a.(b.c) = (a.b).c
- Distri­butiva: a.(b+c) = a.b + a.c

Anéis partic­ulares

Anel Cumutativo
Operação . é cumutativa
Anel Com identidade
Possui elemento neutro da multip­licação
Anel Com divisão
Existe inverso
Corpo
Com divisão e cumutativo
Domínio
Com elemento identidade sem divisores de 0
 

Domínio Euclidiano

Seja R um domínio. R é euclidiano se existe uma função phi que leva de R não nulo aos naturais tal que:
1) Se a,b pertencem a R, b é não nulo então existe q,r perten­centes a R tal que a = q.b + r, onde q é o quociente e r o resto na divisão de a por b. Se r for diferente de zero, então phi(r) < phi(b).
2) Para todo a,b em R não nulos, phi(a) é menor ou igual a phi(a,b).

Exemplos de domínios euclid­ianos

Inteiros com respeito a phi(z) = |z|
Inteiros de Gauss com respeito a phi(a+bi) = a2 + b2
Anel de polinômios K[X] com respeito a phi(a) = grau(a)