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Teoria dos Números Cheat Sheet (DRAFT) by

Algumas definições e teoremas

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Grupo

Um grupo pode ser definido sobre um conjunto e uma operação desde que haja associ­ati­vidade, elemento neutro e inverso

Grupo Abeliano (R, +)

- Associ­ativa: 
a + (b + c) = (a + b) + c

- Existe elemento neutro
- Existe inverso (oposto): para todo 
a
em 
R
existe 
-a
tal que 
-a + a = 0
onde 
0
é o elemento neutro
- Cumuta­tiva: 
a + b = b + a
para todo a,b perten­cente a R

Anel (R, +, .)

- Grupo abeliano
- Operação de multip­licação 
(.)

- Associ­ati­vidade multip­lic­ativa: 
a.(b.c) = (a.b).c

- Distri­butiva: 
a.(b+c) = a.b + a.c

Anéis partic­ulares

Anel Cumutativo
Operação 
.
é cumutativa
Anel Com identidade
Possui elemento neutro da multip­licação
Anel Com divisão
Existe inverso
Corpo
Com divisão e cumutativo
Domínio
Com elemento identidade sem divisores de 0
 

Domínio Euclidiano

Seja 
R
um domínio. 
R
é euclidiano se existe uma função 
phi
que leva de 
R
não nulo aos naturais tal que:
1) Se 
a,b
pertencem a 
R
, 
b
é não nulo então existe 
q,r
perten­centes a 
R
tal que 
a = q.b + r
, onde 
q
é o quociente e 
r
o resto na divisão de 
a
por 
b
. Se r for diferente de zero, então 
phi(r) < phi(b)
.
2) Para todo 
a,b
em 
R
não nulos, 
phi(a)
é menor ou igual a 
phi(a,b)
.

Exemplos de domínios euclid­ianos

Inteiros com respeito a 
phi(z) = |z|
Inteiros de Gauss com respeito a 
phi(a+bi) = a2 + b2
Anel de polinômios K[X] com respeito a 
phi(a) = grau(a)