\documentclass[10pt,a4paper]{article}

% Packages
\usepackage{fancyhdr}           % For header and footer
\usepackage{multicol}           % Allows multicols in tables
\usepackage{tabularx}           % Intelligent column widths
\usepackage{tabulary}           % Used in header and footer
\usepackage{hhline}             % Border under tables
\usepackage{graphicx}           % For images
\usepackage{xcolor}             % For hex colours
%\usepackage[utf8x]{inputenc}    % For unicode character support
\usepackage[T1]{fontenc}        % Without this we get weird character replacements
\usepackage{colortbl}           % For coloured tables
\usepackage{setspace}           % For line height
\usepackage{lastpage}           % Needed for total page number
\usepackage{seqsplit}           % Splits long words.
%\usepackage{opensans}          % Can't make this work so far. Shame. Would be lovely.
\usepackage[normalem]{ulem}     % For underlining links
% Most of the following are not required for the majority
% of cheat sheets but are needed for some symbol support.
\usepackage{amsmath}            % Symbols
\usepackage{MnSymbol}           % Symbols
\usepackage{wasysym}            % Symbols
%\usepackage[english,german,french,spanish,italian]{babel}              % Languages

% Document Info
\author{tiziano123}
\pdfinfo{
  /Title (al-satze.pdf)
  /Creator (Cheatography)
  /Author (tiziano123)
  /Subject (AL s{\"a}tze Cheat Sheet)
}

% Lengths and widths
\addtolength{\textwidth}{6cm}
\addtolength{\textheight}{-1cm}
\addtolength{\hoffset}{-3cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\setlength{\tabcolsep}{0.2cm} % Space between columns
\setlength{\headsep}{-12pt} % Reduce space between header and content
\setlength{\headheight}{85pt} % If less, LaTeX automatically increases it
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % Remove footer line
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % Remove header line
\renewcommand{\seqinsert}{\ifmmode\allowbreak\else\-\fi} % Hyphens in seqsplit
% This two commands together give roughly
% the right line height in the tables
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\onehalfspacing

% Commands
\newcommand{\SetRowColor}[1]{\noalign{\gdef\RowColorName{#1}}\rowcolor{\RowColorName}} % Shortcut for row colour
\newcommand{\mymulticolumn}[3]{\multicolumn{#1}{>{\columncolor{\RowColorName}}#2}{#3}} % For coloured multi-cols
\newcolumntype{x}[1]{>{\raggedright}p{#1}} % New column types for ragged-right paragraph columns
\newcommand{\tn}{\tabularnewline} % Required as custom column type in use

% Font and Colours
\definecolor{HeadBackground}{HTML}{333333}
\definecolor{FootBackground}{HTML}{666666}
\definecolor{TextColor}{HTML}{333333}
\definecolor{DarkBackground}{HTML}{A31F1F}
\definecolor{LightBackground}{HTML}{F9F1F1}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
\color{TextColor}

% Header and Footer
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{} % Set header to blank
\fancyfoot{} % Set footer to blank
\fancyhead[L]{
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{C}
    \SetRowColor{DarkBackground}
    \vspace{-7pt}
    {\parbox{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep\relax}{\noindent
        \hspace*{-6pt}\includegraphics[width=5.8cm]{/web/www.cheatography.com/public/images/cheatography_logo.pdf}}
    }
\end{tabulary}
\columnbreak
\begin{tabulary}{11cm}{L}
    \vspace{-2pt}\large{\bf{\textcolor{DarkBackground}{\textrm{AL s{\"a}tze Cheat Sheet}}}} \\
    \normalsize{by \textcolor{DarkBackground}{tiziano123} via \textcolor{DarkBackground}{\uline{cheatography.com/57454/cs/15202/}}}
\end{tabulary}
\end{multicols}}

\fancyfoot[L]{ \footnotesize
\noindent
\begin{multicols}{3}
\begin{tabulary}{5.8cm}{LL}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{2}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheatographer}}  \\
  \vspace{-2pt}tiziano123 \\
  \uline{cheatography.com/tiziano123} \\
  \end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Cheat Sheet}}  \\
   \vspace{-2pt}Not Yet Published.\\
   Updated 20th March, 2018.\\
   Page {\thepage} of \pageref{LastPage}.
\end{tabulary}
\vfill
\columnbreak
\begin{tabulary}{5.8cm}{L}
  \SetRowColor{FootBackground}
  \mymulticolumn{1}{p{5.377cm}}{\bf\textcolor{white}{Sponsor}}  \\
  \SetRowColor{white}
  \vspace{-5pt}
  %\includegraphics[width=48px,height=48px]{dave.jpeg}
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  www.readability-score.com
\end{tabulary}
\end{multicols}}




\begin{document}
\raggedright
\raggedcolumns

% Set font size to small. Switch to any value
% from this page to resize cheat sheet text:
% www.emerson.emory.edu/services/latex/latex_169.html
\footnotesize % Small font.

\begin{multicols*}{4}

\begin{tabularx}{3.833cm}{p{0.2633 cm} p{0.2633 cm} p{0.2633 cm} p{0.2633 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{4}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Funktionale Vollst{\"a}ndigkeit}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{4}{x{3.833cm}}{Man prüft durch Fallunterscheidung} \tn 
% Row Count 1 (+ 1)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{4}{x{3.833cm}}{{\bf{Satz 3.2}} Zu jeder Funktion f ∈Bn gibt es φ∈ALn mit f =fφ. Damit wissen wir nun auch: φ  → fφ liefert eine bijektive Korrespondenz zwischen den Äquivalenzklassen von ALn-Formeln bezüglich ≡ und den n-stelligen Booleschen Funktionen.} \tn 
% Row Count 6 (+ 5)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}----}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Vollst{\"a}ndige Systeme von Junktoren}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Für n  \textgreater{}= 1 lassen sich alle Booleschen Funktionen in Bn durch ALn-Formeln darstellen, die nur die Aussagenvariablen in Vn und die logischen Junktoren ∧ und ¬ benutzen. (Genauso auch mit ∨ und ¬.) Grund: Man kann ∨ oder aber ∧ durch Dualit{\"a}t eliminieren (und 0 ≡ p1 ∧ ¬p1 sowie 1 ≡ p1 ∨ ¬p1 benutzen). Ein solches System von Junktoren (oder zugeh{\"o}rigen Booleschen Funktionen) hei{\ss}t {\bf{vollst{\"a}ndig}}} \tn 
% Row Count 9 (+ 9)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Quiz AL}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Eine Formel φ ∈ AL enthält nur endlich viele aussagenlogische Variablen. {\emph{Wahr}}} \tn 
% Row Count 2 (+ 2)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Wenn eine Formel φ ∈ AL erfüllbar ist, dann ist ¬φ nicht erfüllbar. {\emph{Falsch}}} \tn 
% Row Count 4 (+ 2)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Die Formelmenge \{p,p→q,¬q\} \{\{nl\}\}ist erfüllbar. {\emph{Falsch}}} \tn 
% Row Count 6 (+ 2)
% Row 3
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Wenn jede Formel einer Formelmenge Φ ⊆ AL erfüllbar ist, dann ist auch Φ erfüllbar. {\emph{Falsch}}} \tn 
% Row Count 8 (+ 2)
% Row 4
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Für jede Formelmenge Φ⊆AL giltΦ|=⊤. {\emph{Wahr}}} \tn 
% Row Count 9 (+ 1)
% Row 5
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{TO DO H2G l{\"o}sen} \tn 
% Row Count 10 (+ 1)
% Row 6
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{I}}. φ ist erfüllbar gdw. φ ⊢  nicht allgemeingültig ist {\bf{II.}} φ ist allgemeingültig gdw. ⊢ φ allgemeingültig ist {\bf{III.}} φ|=ψ gdw. φ ⊢ ψ allgemeingültig ist {\bf{IV.}} Φ ist unerfüllbar gdw. Φ ⊢ allgemeingültig ist {\bf{V}}. Φ ist unerfüllbar gdw. Φ`0`⊢ allgemeingültig ist für ein endliches Φ`0` ⊆ Φ} \tn 
% Row Count 17 (+ 7)
% Row 7
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{ZU RESOLUTION AL Sei K = \{\{p\}\} und C = \{p,q\}. Dann gilt K |= C, allerdings nicht C ∈ Res∗(K) = K. Stattdessen gilt K |=   genau dann, wenn   ∈ Res∗(K) für alle Klauselmengen K.} \tn 
% Row Count 21 (+ 4)
% Row 8
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{ZU RESOLUTION AL  Seien C1 = \{p,q\}, C2 = \{¬p,r\} Klauseln und C = \{q,r\} eine Resolvente von C1 und C2. Dann gilt \{C\} ≡ \{C1,C2\} nicht. Stattdessen gilt \{C1,C2,C\} ≡ \{C1,C2\} für alle Resolventen C zweier beliebiger Klauseln C1 und C2.} \tn 
% Row Count 26 (+ 5)
% Row 9
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{ZU RESOLUTION AL K = \{\{p,q\}\} ist eine erfüllbare Klauselmenge ohne eindeutige minimale erfüllende Belegung, weil sowohl \{p  → 1,q  → 0\} |= K als auch \{p  → 0,q  → 1\} |= K gilt. Stattdessen besitzt jede erfüllbare Hornklauselmenge eine eindeutige minimale erfüllende Belegung} \tn 
% Row Count 32 (+ 6)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{p{0.3433 cm} p{0.3433 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Logische Äquivalenz}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{{\bf{Definition 2.3}} Zwei Formeln φ, ψ ∈ AL(V) hei{\ss}en (logisch) {\"a}quivalent, gdw. für alle V-Interpretationen J gilt: J|=φ gdw. J|=ψ. In Symbolen: {\bf{φ≡ψ.}}} \tn 
% Row Count 4 (+ 4)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{Für φ, ψ ∈ AL`n` gilt demnach:φ ≡ ψ gdw. für alle (b`1`,...,b`n`) ∈ B\textasciicircum{}n\textasciicircum{} ist φ{[}b`1`,...,b`n`{]} = \{\{nl\}\}ψ{[}b`1`,...,b`n`{]}.} \tn 
% Row Count 7 (+ 3)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{Logische Äquivalenz l{\"a}sst sich durch Wahrheitstafeln nachweisen.} \tn 
% Row Count 9 (+ 2)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{Formeln mit derselben Semantik hei{\ss}en logisch {\"a}quivalent}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Erfüllbarkeit (AL)}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Definition 2.6}} φ ∈ AL(V) hei{\ss}t erfüllbar gdw. eine Interpretation existiert mit J |= φ. Analog für Formelmengen Φ ⊆ AL(V): Φ ist erfüllbar gdw. es eine Interpretation J gibt, die Φ erfüllt, d.h. mit J |= φ für alle φ ∈ Φ.} \tn 
% Row Count 5 (+ 5)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Beobachtung 2.7}} Erfüllbarkeit ist dual zur Allgemeingültigkeit: φ allgemeingültig gdw. ¬φ nicht erfüllbar.} \tn 
% Row Count 8 (+ 3)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Beobachtung 2.8}} Die Folgerungsbeziehung l{\"a}sst sich auf Erfüllbarkeit reduzieren: Φ |= ψ gdw. Φ ∪ \{¬ψ\} unerfüllbar ist.} \tn 
% Row Count 11 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Hü und altklausuren hier rein TO DO}  \tn 
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{KNF und DNF}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Satz 3.7}} Zu jeder Formel φ ∈ ALn gibt es  {\"a}quivalente Formeln φ1 ∈ALn in KNF und φ2 ∈ALn in DNF.} \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Allgemeingültigkeit}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Definition 2.2}} Eine Formel φ ∈ AL(V) hei{\ss}t allgemeingültig gdw. für alle V-Interpretationen J gilt: J |= φ. In Symbolen: |= φ (anstelle von ∅ |= φ).} \tn 
% Row Count 4 (+ 4)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{z.B. gilt für jedes φ: |=φ ∨ ¬φ. Man prüft mittels Wahrheitstafeln nach, dass φ |= ψ gdw. |= φ → ψ.} \tn 
% Row Count 7 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Folgerungsbeziehung}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Definition 2.1 φ |= ψ bzw. Φ |= ψ}}} \tn 
% Row Count 1 (+ 1)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Für φ,ψ ∈ AL(V), bzw. Φ ⊆ AL(V) und ψ ∈ AL(V): ψ ist eine logische Folgerung von φ, oder ψ folgt aus φ, in Symbolen φ |= ψ, gdw. fu ̈r alle V-Interpretationen I gilt: I |= φ ⇒ I |= ψ. Entsprechend ist Φ |= ψ für Formelmengen Φ definiert (ψ folgt aus Φ).} \tn 
% Row Count 7 (+ 6)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{Beispiele: Man weist anhand von Wahrheitstafeln nach, dass z.B. für beliebige φ, ψ gilt: φ ∧ ψ |= φ ∨ ψ, oder dass ψ |= (ψ ∧ φ) ∨ (ψ ∧ ¬φ).} \tn 
% Row Count 11 (+ 4)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{X}
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Kompaktheitssatz (AL)}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Satz 4.1}} Sei V = \{p`i` : 1 \textless{}=  i ∈ N\}, AL = AL(V). Für jede Formelmenge Φ ⊆ AL sind {\"a}quivalent:} \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
% Row 1
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{(i)}} Φ ist erfüllbar. {\bf{(ii)}} Jede endliche Teilmenge Φ`0` ⊆ Φ ist erfüllbar.} \tn 
% Row Count 5 (+ 2)
% Row 2
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{Korollar 4.2}} Für jede Formelmenge Φ ⊆ AL und Formel ψ ∈ AL sind {\"a}quivalent:} \tn 
% Row Count 7 (+ 2)
% Row 3
\SetRowColor{white}
\mymulticolumn{1}{x{3.833cm}}{{\bf{(i)}} Φ |= ψ. {\bf{(ii)}} Es gibt eine endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ derart, dass Φ0 |= ψ.} \tn 
% Row Count 9 (+ 2)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}-}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}

\begin{tabularx}{3.833cm}{p{0.3433 cm} p{0.3433 cm} }
\SetRowColor{DarkBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{\bf\textcolor{white}{Lemma von K{\"o}nig}}  \tn
% Row 0
\SetRowColor{LightBackground}
\mymulticolumn{2}{x{3.833cm}}{{\bf{Lemma 4.4}} Sei T ein unendlicher, aber endlich verzweigter Baum. Dann gibt es in T einen unendlichen Pfad (von der Wurzel aus).} \tn 
% Row Count 3 (+ 3)
\hhline{>{\arrayrulecolor{DarkBackground}}--}
\end{tabularx}
\par\addvspace{1.3em}


% That's all folks
\end{multicols*}

\end{document}